一.行列式

1.和矩阵的差别体现在它的阶数行和列必须相等，而且它代表的是一个数

  这一点和矩阵很大区别，他用||符号表示。

2.对换性质：

    （1）一个排序中的任意两个元素对换，排序改变奇偶性

    （2）行列式与它的转置行列式相等

    （3）互换行列式的两行（列），行列式变号（所以出现相同行或列就会使行列式=0，使其不可逆）

    （4）行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数K，等于用数K乘此行列式

    （5）行列式中如果两行（列）成比例，行列式等于0

    （6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数后加到另一列（行）对应的元素上，

              行列式不变。

二.矩阵

1.矩阵为方阵时才可以当成行列式计算

2.矩阵相乘 AB  A矩阵的列数必须等于B的行数

3.注意一点：(AB)C=A(BC) 但是不能写成 (AB)C=(AC)B 之类的（要保持原来的顺序）

4.转置问题：记住转置也是一种运算就行了，特别是 (AB)T=BTAT

5.对称阵：AT=A（注意与正交阵的区别（AT=A^-1））

6.伴随阵：记住这个东西是由方阵才能够生成的，即为方阵各个元素的代数余子式组成

                  例如：A为方阵  既有 AA*=A*A=|A|E

7.逆矩阵：必须是方阵才有逆矩阵的存在（也就是说满秩的情况下）

                |A|!=0时    A^-1=1/|A| A*

8.求解比较复杂的矩阵时可以用：分块法

三。矩阵初等变换

1.任何矩阵都可以经过初等变换最终变成标准型

2.反正不管是初等行变换还是初等列变换，都是左乘或右乘一个可逆矩阵（方阵）

  最终变成标准型（E）来实现的

3.矩阵的秩：在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D且所有r+1阶子式全等于0，这个r就是秩了。

四.向量组的相关性

1.向量B 能用向量A表示的充要条件 就是秩相等 即 R(A)=R(A,B),且R(B)<=R(A)

2.向量组a1,a2,....,am线性相关的充要条件是 向量组构成的矩阵的秩小于m,线性无关则是秩等于m

3.矩阵的秩等于它的列向量组的秩也 等于行向量组的秩

4.设m*n矩阵A的秩R（A）=r,则n元弃次线性方程组Ax=0的解集S的秩Rs=n-r

5.向量空间：n维向量集合对于向量的加法及乘法运算封闭的，则此空间为向量空间。

6.这一章需要掌握的还有 自然基，过渡矩阵。

五.相似矩阵及二次型

1.内积：[ x,y]=x1y1+x2y2+.....+xnyn,有[x,y]=xTy

2.范数（长度):||x||=sqrt([x,x])=sqrt(x1^2+x2^2+....+xn^2)

3.n维向量x与y之间的夹角为  ceta=arccos([x,y]/(||x||*||y||))

4.正交规范基：设n维向量e1,e2,....,en是向量空间V的一个基，如果e1,e2,...,en两两正交，且都是单位向量，则

                          e1,e2,....,en是V的一个规范正交基。且V中的向量a 的坐标有 nadai=eiTa=[a,ei]

                        过程还涉及到 《施密特正交化过程》

5.正交阵：ATA=E (A^-1=AT)

6.正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px 称为正交变换。有||y||=sqrt(yTy)=sqrt(xTPTPx)=sqrt(xTx)=||x||

                    这一点狠重要，说明正交变换并不改变向量的长度（范数）

7.重要定理：若n维向量a1,a2,....,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,....,ar线性无关。

8.设A是n阶矩阵，如果数d和n维非零列向量x使得关系式:(注意A必须是方阵才能存在特征值特征向量）

                                Ax=dx

  成立，则数d称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值d的特征向量

  可以进一步写成：(A-dE)x=0

    则 |A-dE|=0 称为特征方程  |A-dE| 称为特征多项式

  定理：设d1,d2,...,dn为方阵A的m个特征值，p1,p2...,pn依次是与之对应的特征向量，如果d1,d2,..,dn

              各不相等，则p1,p2,..,pm线性无关

9.相似矩阵:设A,B都是n阶矩阵（注意这里是方阵才存在相似矩阵），若有可逆矩阵P（方阵）使得

                    P^-1AP=B,则B与A相似矩阵

                定理1：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同

                定理2：n阶矩阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

10.对称阵的特征值为实数。

11.设d1,d2是对称阵A的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量，且d1!=d2，则p1与p2正交。

12.设A为n阶对称阵，则必有正交阵P 使得 P^-1AP=PTAP=U,其中U是以A的n个特征值为对角元的对角阵

13.正定二次型的形式为f=xTAx,具体要参考相关书籍

六。线性空间与线性变换

1.线性空间和向量空间概念差不多，不过对于加法和乘法运算满足八条规律就行了（和运算封闭有点区别）

  且在向量空间中向量是有序数组，因此范围更加狭窄，可以这么说向量空间只是线性空间的一个特殊情况。

2.如果在线性空间V中，存在n个元素a1,a2,...,an满足：1.a1,a2,..,an线性无关2.V中元素都可以用他们线性表示

  那么a1,a2,...,an称为线性空间V的基，n 为维数。

3.基变换公式：(b1,b2,...,bn)=(a1,a2,...,an)P  ;其中P称为过渡矩阵

4.线性变换： T(da)=dT(a)

5.线性空间Vn中，取定两个基：

          a1,a2,.....,an

          b1,b2,.....,bn

  有a到b的过渡矩阵为p ,vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，那么B=P^-1AP

6.正定矩阵，正定二次型。