本文介绍了单位阶跃信号、单位冲激信号分别在离散和连续下的定义及关系

1 离散时间

1. 1 单位阶跃信号

数学表达式

$u[n] = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, n \geqslant 0 & \\ 0, n < 0 & \end{array} \right. \end{equation}$

数学表达式

$\delta[n] = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, n = 0 & \\ 0, n \neq 0 & \end{array} \right. \end{equation}$

一阶差分（First Diference）

$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$

累加和（Running Sum）

$u[n] = \sum_{m=0}^{\infty}{\delta[n-m]}$

$u(t) = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, t \geqslant 0 & \\ 0, t < 0 & \end{array} \right. \end{equation}$

连续时间下，单位冲激信号被定义为单位阶跃信号的导数。实际上在 $t=0$ 处, $u(t)$ 是不连续的，自然也就是不可导的。这里采用了一个近似的处理，具体原理这里不做叙述。

$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$

所得单位冲激信号是在 $t=0$ 初，宽度为 $0$ 、高度为 $+\infty$ 、面积为 $1$ 。其余处均为 $0$ 的连续时间信号

一阶导数

$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$

积分

$u(t) = \int_\infty^t{\delta(x)dx}$