单位阶跃信号、单位冲激信号的定义与关系

本文介绍了单位阶跃信号、单位冲激信号分别在离散和连续下的定义及关系

1 离散时间

1. 1 单位阶跃信号

数学表达式

u[n] = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, n \geqslant 0 & \\ 0, n < 0 & \end{array} \right. \end{equation}

1. 2 单位冲激信号

数学表达式

\delta[n] = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, n = 0 & \\ 0, n \neq 0 & \end{array} \right. \end{equation}

1.3 两者关系

一阶差分（First Diference）

\delta[n] = u[n] - u[n-1]

累加和（Running Sum）

u[n] = \sum_{m=0}^{\infty}{\delta[n-m]}

2 连续时间

2. 1 单位阶跃信号

u(t) = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, t \geqslant 0 & \\ 0, t < 0 & \end{array} \right. \end{equation}

2. 2 单位冲激信号

连续时间下，单位冲激信号被定义为单位阶跃信号的导数。实际上在t=0处,u(t)是不连续的，自然也就是不可导的。这里采用了一个近似的处理，具体原理这里不做叙述。

\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}

所得单位冲激信号是在t=0初，宽度为0、高度为+\infty、面积为1。其余处均为0的连续时间信号

2.3 两者关系

一阶导数

\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}

积分

u(t) = \int_\infty^t{\delta(x)dx}

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