拉普拉斯变换与z变换

LTI系统对复指数信号对响应

傅里叶分析的重要价值在于：
1）相当广泛的信号都能用复指数信号的线性组合来表示；
2）LTI系统对复指数的响应同样是一个复指数。
傅里叶级数与傅里叶变换可以说明第一点，现证明第2点：
对任一输入连续信号x(t) = e^{st}，LTI系统的输出为：
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau
{\boxed{y(t) = H(s)e^{st}\\ H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau}}
同样可证，对于任一输入离散信号x[n] = z^n
{\boxed{y[n] = H(z)z^n\\ H(z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}}}

回顾傅里叶变换

连续时间傅里叶变换
{\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt}dw\\ X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt}}
离散时间傅里叶变换
{\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw\\ X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}}

拉普拉斯变换

连续时间傅里叶变换提供了将信号表示为形如e^{st}, s=jw的线性组合，然而LTI系统对复指数信号的响应不局限于纯虚数的情况，这就导致了连续时间傅里叶变换的推广，称为拉普拉斯变换。
回顾H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau
当s=jw, X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt，即傅里叶变换；
当s为一般复变量时，X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt，即拉普拉斯变换。

  • 例:求信号x(t) = e^{-at}u(t)的拉普拉斯变换
    前面已知，该信号的傅里叶变换为X(jw) = \frac 1{jw+a},a>0
    其拉普拉斯变换为：X(s) = \int_0^{\infty}e^{-(s+a)t}dt=\frac 1{s+a}=\frac 1{\sigma+a+jw}, Re(s)>-a
    在求拉普拉斯变换时，需要给出变换的代数表示式以及ROC（收敛域）。
    {\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds\\ X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-st}dt}}

z变换

上述讨论了连续时间傅里叶变换的推广称为拉普拉斯变换，而离散时间傅里叶变换的推广称为z变换。
{\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz\\ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}}

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