一、前言
毫不夸张地说，主成分分析（Principal Component Analysis）面前，在座的各位都是小朋友，PCA算法距离1901年提出已经过了一百多年，纵然世纪更迭，但是许多人对PCA算法在人脸识别领域中的应用仍然逃不过真香定律，它仍然是目前最简单的以特征量分析多维度统计分布的方法，没有之一，可以说是算法必掌握之利器。
二、为什么要有主成分分析
和这个系列名对应，主成分分析是特征提取的一个常用算法。这时肯定有人对特征提取和特征选择的区别产生疑问，简单来说，特征提取是从N个特征中，通过构造M个函数的方式，获得M个特征，这里每个特征都是包含了前N个特征得出的。而特征选择就是“单纯的”从样本的N个特征中选出前M个最matter（比如在人脸识别中使得识别率最高的）的特征。这两种情况下，M都是小于N的，直观来讲，比如我从样本集中拿出一个神奇宝贝，他可能包含有N个特征，比如
是它的类系，
使它的攻击力，
使它的防御力，等等，那么由此得来的样本
的特征空间可以表示为
，而这样的N个维度有时对于实际问题来说可能太多了，需要减少样本的维度，而这时候，主成分分析就要来秀一波了，它是降低数据维度的一把好手，比如这个问题，他就可以提取出M个特征使得神奇宝贝的胜率达到最高。
但是要注意，这里重新得到的，
，等等已经和之前的不一样了，事实上，这里的每个新特征
是关于之前N个特征的综合考虑，可以表示为，
三、二维主成分分析
OK,我们由浅入深，先来考虑一下二维情况时的主成分分析，也就是N=2,M=1的情况，这样每个样本点都分布在一个二维平面上，我们可以用一个二维坐标系表示。
优化问题得出
好，那我们要拿主成分分析来干嘛呢？我们想要作特征提取，也就是把这两个特征“融合”成一个特征用来作后续胜率的分析。试想一下，如果我们要考虑皮卡丘和杰尼龟（假设只有攻击力和防御力这两个特征）战斗的胜率，
表示攻击力，
表示防御力，那么我们希望找一个特征（也就是找一个轴），把原本在二维坐标系上的点还能投影到这个坐标轴上的对应位置，以使得所有样本分布尽可能不变。
我们可以画出这样的坐标系，皮卡丘和杰尼龟分别用P和J点代替，皮卡丘的攻击力较高，杰尼龟的防御力较高，那怎么判断谁获胜的可能性比较大呢？很显然，对这两个特征做个综合，具体怎么说呢？就是给分别一个权重，然后得到一个新的特征能力值综合考虑了他们的攻击力和防御力，这样把P1，J1这两个二维坐标投影到一维上，然后比较P2，J2，就能估计胜率啦！
很好，照着这个思路，也就是我们需要构造一个函数,也就是找出A和b使得所有的样本点在这条线上的投影尽可能分散，以便我们借助我们新得的这个特征Y尽可能区分开他们，由此我们得出，也就是上图中的F1方向。
假设现在我们有P个样本点，，这样，可以把
改造为
，其中
,当我们想要把N维向量降为M维时，很显然
应该是Mx1的矩阵，而A应该是NxM的矩阵，假设
，其中a向量是Mx1的矩阵，这里的a1等等实际上就表示M个方向，在这M个方向上投影就得到M个值。（Tips:搞清楚各个向量的维度对理解后续推导至关重要，请停下来思考一下。），所以Y向量为，
Great!通过前面这样的一通分析，我们终于有了目标，有了目标就可以尝试得出优化问题的目标函数和约束，现在，我们只考虑有p个样本的二维情况，所以N=2，M=1，这样很简单，Y就是一个值，我们要最大化方差，也就是最大化，接下来我们就尝试把这个目标函数化为样本点X相关,过程很容易。
实际上，所以
我们定义为协方差矩阵
（covariance matrix），这样目标函数可以简化为
，约束条件可以在a1方向上单位化，不影响方向表示，却可以极大简化后续计算。所以优化问题为，
解优化问题
得到要解的优化问题后，又又又到了我们喜闻乐见的拉格朗日乘子法和求导运算，求极值的阶段了。（贴一下这位可爱的科学家）
这次优化问题的解相比于前面几篇支持向量机的推导要简单很多，我会用最简单的方法介绍，各位看官耐心且看。
首先利用拉格朗日乘子法构造函数
接下来，祖传手艺求导，
所以，，怎么样？看这个式子是不是很熟悉，没错，是协方差矩阵的特征向量，是协方差矩阵的特征值。
怎么理解特征值和特征向量呢？比如我们把矩阵看作运动，对于运动而言，它最重要的特征当然是速度和方向，
- 特征值就表示运动的速度
- 特征向量就表示运动的方向
那这里的这里的特征值和特征向量表示什么意义呢？我们思考一波，我们要最大化,由上面（1）式，也就是最大化
，又约束条件
，所！以！我们就是要最大化特征值
（也就是最大化目标函数方差呀朋友萌！），到这里，我们总结出，
所以是
最大的特征值，
是
最大的特征值
对应的特征向量，并且
。
Good job!我们找到了，也就找到了二维问题中使方差最大的方向。
四、多维情况求解
解决掉可以直观想象的分布统计问题之后，我们来点稍有挑战性的，怎么求多维（N>2）向量除外的其它维度
呢？一开始，我们就说明矩阵A的各个维度实际上表示的是不同的方向，我们要在每个方向都尽可能使方差大，比如我们要找
方向，那么同样，
，注意，这里唯一的不同就是，要添加
与
正交，说明在三维降二维时，
方向是唯一确定的，莫得选择。
接下来，继续祖传手艺拉格朗日乘子法加求导，引入系数和
，构造函数
接下来，和前面二维情况差不多，
以下，简单推导一下吧，方便理解，，两边同乘以
，得到
，就等于
看看这个式子，u1s1，漂亮！全都能照着约束条件约去（现在体会到约束的好处了吧），得到
，同时，
，所以怎么样，是不是第二个优化问题(3)和第一个优化问题(1)就一样了？最大化
,再次求最大的
，但是此时最大已经被
占去，咋办？嗐，退而求其次，取第二大吧。
所以，严肃严肃，我们要放大招了，抛出结论，
相信聪明的你已经猜到了NxM矩阵A的其他维度的值了，就不用我一遍一遍重复推导了吧。
得出结论，就是协方差矩阵第三大特征值对应的特征向量，依次类推。由此确定了NxM矩阵，这就是一个M维度的坐标系呀，盆友萌，我们成功把N维坐标系的样本成功移到我们自己构建的M维坐标系上了呀，撒花撒花！其中每个轴都是我们自己辛苦求出来的哦。
五、总结一波
好的，经过你不懈的努力，总算把PCA算法盘下来了，我们最后总结一下，回顾一遍，你能有更深的理解。
- 拿到一堆样本，果断求协方差矩阵
；
- 有了结论，直接用。求出
的特征值及其对应的特征向量，并且从大到小排序，以备取用；
- 归一化所有的方向
;
- 得到前M维方向向量
- 得到M维坐标系后，果断把这P个在N维坐标系上的样本点映射过去，
，其中i=1 到 P。
PCA：“小朋友，读到这里，你还有很多问号吗？”
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