拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边<u,v>∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。

一个较大的工程往往被划分成许多子工程,工程之间相互存在依赖关系,比如工程A 、B、C,A工程开始依赖B完成, B开始又依赖C的完成,想要完成工程的话则需要按C->B-A顺序执行。
但是一旦增加 C依赖A 的条件后,则工程之间形成环形结构 C->B-A->C,导致无法完成。

拓扑排序可将有向图转换成线性有向图,以便直观的查看有向图是否存在环结构

拓扑排序算法流程:

方法一、入度表(广度优先遍历)

入度:一个顶点的入度是以这个顶点为终点的有向边的数量
出度:一个顶点的入度是以这个顶点为起点的有向边的数量
例如:
A->B,B的入度+1,A的出度+1

  1. 统计有向图中每个节点的入度,生成 入度表 indegrees。
  2. 借助一个队列 (或栈),将所有入度为 0 的节点入队(或入栈)。
  3. 当 队列 非空时,依次遵循FIFO原则将队列首节点出队(或出栈),在有向图中删除此节点,并将此节点对应所有邻接节点 的入度 −1,即 indegrees[节点] -= 1。
    当邻接节点入度 −1后,如果入度0,说明 cur 所有的前驱节点已经被 “删除”,此时将此邻接节点入队(入栈)。
    除此之外,在每次出队(出栈)时,执行 节点总数num--;
  4. 重复以上过程,直到所有的节点遍历完成

若整个课程安排图是有向无环图(即可以安排),则所有节点一定都入队并出队过,即完成拓扑排序。换个角度说,若有向图中存在环,一定有节点的入度始终不为 0。
因此,拓扑排序出队次数等于节点个数,返回 num == 0 判断课程是否可以成功安排。

这里利用网上找到的一组图说明:

  • 删除1或2输出


  • 删除2或3以及对应边


  • 删除3或者4以及对应边


  • 重复以上规则步骤


入度表遍历过程中,经常使用邻接表邻接矩阵存储、任意两个顶点之间的连通关系,以便查找常数时间内找到当前节点对应的临界节点,以及当前节点和邻接节点之间的入度、出度数

方法二、深度优先遍历DFS

借助一个标志列表 flags,用于判断每个节点 i (课程)的状态:

  • i == 0 :未被 DFS 访问
  • i == -1:已被其他节点启动的 DFS 访问
  • i == 1:已被当前节点启动的 DFS 访问

对 num个节点依次执行 DFS,判断每个节点起步 DFS 是否存在环,若存在环直接返回 False。DFS 流程;

  1. 初始化列表 flag[],初始值0,表示所有节点未被访问过
  2. 依次遍历访问节点,将当前访问节点 i 对应 flag[i] 置 1,即标记其正在被本轮 DFS 访问中
  3. 递归访问当前节点i 所有邻接节点j:
    如果 flag[j] == 1,说明在本轮 DFS 搜索完毕前节点 i 被第 2 次访问,即存在环形结构
    如果 flag[j] == -1,说明当前访问节点已被其他节点启动的 DFS 访问且未发现环,无需再重复搜索
  4. 若整个图 DFS 结束并未发现环,则有向图不存在环。

具体案例可以参考这里: 课程表

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