理学院 18数本二班 杨春玉
最近我们正在学习积分相关知识，不知觉中激发了我对积分的学习兴趣。现在，跟着我一起走进积分吧！
不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。下面是基于自己对不定积分的理解，对不定积分的求法进行了总结，首先向大家阐述微积分的时代背景及其创立。
微积分是微分学和积分学的简称。微积分的创立是数学史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希腊的求积术，但直接原因是17世纪的科技问题。后来微积分的大量知识积累起来，但这些知识往往沉湎于细节，而且多用几何方法寻求严密的推理，忽略了新发展的解析几何。英国的牛顿和德国的莱布尼茨最终完成了微积分的创造，历时上对于谁先创造了微积分还有很大的争议，后来数学史统一认为两位数学家都死微积分的创作者。牛顿，据牛顿自述，他于1665年发明正流数术（即微分法），1666年建立反流数术（即积分法），1666年写出第一篇微积分论文《流数简述》，其中以速度形式引进了流数，使用无穷小瞬概念，建立了“微积分基本定理”,并讨论了正、反微分运算的各种应用。但到了1687年，牛顿的《自然哲学之数学原理》在伦敦出版，这才是他第一次公开表述了微积分方法。莱布尼茨，1673年阐述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通过积分变换，得到平面曲线的面积公式。1675年10月，他使用了不定积分符号，用不定积分表示面积，还得到分部积分公式。1675-1676年他得到微积分基本定理，后来后来这一原理被称为“牛顿－莱布尼茨公式”。1677年他明确定义了dy为函数的微分，给出了dy的演算规则。1684年，莱布尼茨发表第一篇微积分论文。
最初是在高中接触不定积分，那时学到的只是皮毛。进入大学后我们学的更加深入，通过与老师学习及查阅资料，整理以下几种求不定积分的方法。（1）利用定义来求不定积分，注意利用不定积分的定义来求不定积分关键在于能够找到f(x)的一个原函数。（2）直接积分法，求不定积分是经过适当的恒等变行，将被积函数化为基本积分公式中的几个被积函数的代数和，再利用基本积分公式和性质来求不定积分的方法。利用直接积分法的关键在于将被积函数恒等化为基本积分公式中的几个被积函数的代数和，要注意的是在恒等变化时不要犯错，以及基本积分公式要牢记，不要犯错。（3）第一类换元积分法（凑微分法），凑微分法就是把被积式子中的某一部分看成一个整体，而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式。（4）第二类换元法常用的换元技巧如下：三角代换；倒代法；去根号法。（5）分步积分法，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或者幂函数与指数函数的乘积，可以考虑分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分就可以使得幂函数的幂次降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，可以考虑用分部积分法，并设对数函数或者反三角函数为u.
不定积分是微积分中重要的部分，不定积分的概念，性质，求法，以及应用在数学分析中有着至关重要的位置，也是微积分中的基础部分，所以掌握不定积分的求法是学习微积分的基础，不定积分的求法很多种，这里主要讲了利用定义求法、直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分步积分法五种最基本的方法，也是最常用的方法，遇到不定积分的题目时，应当先分析题目结构，然后选择最方便求解的方法。
大家了解积分的基本知识，其实积分的学习不难，只要细心总结，认真学习基本知识，那么不定积分的求法就可以深刻的掌握，对高等数学可以从容应对。在这写作过程中，我感受到了知识的丢失和自己知识面的不足，不能系统全面得总结不定积分的知识。但是，我还是未能对不定积分的求法作深入的探讨，只考察了不定积分求法的五种方法，而且讨论较为粗浅。
事实上，积分是高等数学必须掌握的基础知识，在现代科技中有大量的应用。也是深入研究数学的基础。掌握不定积分的求法，对我们的工作和继续教育有重要意义。
