Bose T K, Seeniraj R V. Two-temperature Elenbaas-Heller problem with argon plasma[J]. Plasma physics and controlled fusion, 1984, 26(10): 1163.
双温度E-H方程形式：
- 能量方程：
$$\begin{align}
& \frac{d}{dy}(k_e \frac{dT_e}{dy}) = 3\frac{m_e}{m_h}k_B (T_e - T_h)\Gamma_{eh} - \sigma E_x^2 + \frac{5}{2} \frac{k_B J_e}{e} \frac{dT_e}{dy} - P_{rad} \
& \frac{d}{dy}(k_h \frac{dT_h}{dy}) = -3\frac{m_e}{m_h}k_B (T_e - T_h)\Gamma_{eh} - J_i E_x
\end{align}$$
其中，$\frac{5}{2} \frac{k_B J_e}{e} \frac{dT_e}{dy}$ 代表了温度梯度下电子扩散引起的能量输运，$J_i E_x$表示离子电流的能量输运项，这两项相比碰撞项和焦耳热项较小（可以忽略？）
$\Gamma_{eh}$ 表示体积碰撞频率：$$\Gamma_{eh} = c_e n_e \sum_{j\in H} n_j Q_{ej}, \quad (m{-3}s{-1})$$其中，$c_e$为电子平均速度（Maxwellian speed of electrons, $c_e = \sqrt{{8k_BT_e \over \pi m_e}}$），$n_e$为电子数密度，$Q_{ej}$为电子-重粒子碰撞截面，$j\in H$ 表示 j 为重粒子H体系的第j种粒子，经过化简，可得：$$\Gamma_{eh} = 6211.5229 x_e T_e^{0.5} (n \times 10{-10})2 [x_a Q_{ea} + x_e Q_{ei}] \quad (m{-3}s{-1})$$
然而根据化简，似乎没有 $10^{-10}$ 项，$$\Gamma_{eh} = \sqrt{{8k_B \over \pi m_e}} T_e^{0.5} n^2 x_e [x_a Q_{ea} + x_e Q_{ei}]$$ 注意$\sqrt{{8k_B \over \pi m_e}} = 6211.52$
根据M.Baeva，对 $T_e$，单位为K，碰撞截面如下
$$\begin{align}
& Q_{ea} = (3.6 \times 10^{-4} T_e - 0.1) \times 10^{-20} \quad [m^2] \
& Q_{ei} = \frac{e^4}{24\pi (k_B \epsilon_0)^2} \ln \left( 1.2384 \times 10^7 \sqrt {\frac{T_e3}{n_e}}\right)\frac{1}{T_e2}\quad [m^2]
\end{align}$$
Baeva M, Bösel A, Ehlbeck J, et al. Modeling of microwave-induced plasma in argon at atmospheric pressure[J]. Physical Review E, 2012, 85(5): 056404.
根据上述公式，在电子数密度$10^{20} \ m{-3}$下的碰撞截面如下图，可知虽然电子-离子碰撞截面比电子-原子碰撞截面大2~3个数量级，但是由于电离率在$10{-2}~10^{-3}$，所以最终两者的贡献可能相接近
