例i) f(x)＝x𠆢2，求Sf(x)。因为C。＝）0，1，4

                                                                C1＝） 1， 3

                                                                  C2＝）  2

所以，f(x)＝C。g。(x)＋C1·g1(x)＋C2·g2(x)＝g1(x)＋2·g2(x)＝x＋2·1/2·x(x－1)＝x𠆢2

            Sf(x)＝C。·g1＋C1·g2＋C2·g3＝g2＋2·g3＝1/2·x(x－1)＋2/6·x(x－1)(x－2)＝1/6·x(x－1)(2x－1)

如果令x＝n＋1，则可得到自然数序列｛n𠆢2｝的求和公式Sn＝1/6·n(n＋1)(2n十1)

例ii）f(x)＝x𠆢3，求Sf(x)

因为，C。＝）0， 1， 8， 27

                  C1＝） 1， 7， 19

                      C2＝） 6， 12

                            C3＝）6

f(x)＝C。g。＋C1·g1＋C2·g2＋C3·g3＝g1＋6g2＋6g3＝x𠆢3

所以，Sf(x)＝g2＋6·g3＋6·g4＝1/4·[x(x－1)]𠆢2

同样令x＝n＋1，则可以得到自然数序列{n𠆢3}的求和公式Sn＝1/4·[n(n＋1)]𠆢2

下面我们用这种方法来求自然数序列{n𠆢4}的求和公式Sn。首先求多项式f(x)＝x𠆢4的求和公式Sf(x)

因为C。＝）0， 1，  16，  81，    256

            C1＝)    1，  15，  65，  175

                  C2＝） 14， 50， 110

                      C3＝） 36， 60

                            C4＝） 24

f(x)＝g1＋14·g2＋36·g3＋24·g4＝x𠆢4

所以，Sf(x)＝g2＋14·g3十36·g4＋24·g5＝1/2·x(x－1)＋14·1/3！·x(x－1)(x－2)＋36·1/4！·x(x－1)(x－2)(x－3)＋24·1/5！·x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝1/30·x(x－1)(6·x𠆢3－9·x𠆢2＋x＋1)＝1/30·x(x－1)(2x－1)(3·x𠆢2－3x－1)

如果令x＝n＋1，则自然数序列{n𠆢4}的求和公式Sn＝1/30·n(n＋1)(2n＋1)(3·n𠆢2＋3n－1)

下面用数学归纳法这个求和公式

i）当n＝1时，左边＝1𠆢4＝1＝右边；

ii）假设当n＝k时，Sk＝1/30·k(k＋1)(2k＋1)(3·k𠆢2＋3k－1)成立；

iii）当n＝k＋1时，

右边＝1/30·(k＋1)(k＋2)(2k＋3)(3·k𠆢2＋9k＋5)

左边＝Sk＋(k＋1)𠆢4＝1/30·k(k＋1)(2k＋1)(3·k𠆢2＋3k－1)＋(k＋1)𠆢4

        ＝1/30·(k＋1)(k＋2)(2k＋3)(3·k𠆢2＋9k＋5)

左边＝右边

所以对一切自然数n该求和公式成立。

利用多项式代数的求和方法，我们能找出一些特型自然数序列的求和公式

如，f(x)＝x(x－1)，可取C。＝0，C1＝0，C2＝2

f(x)＝2·g2

Sf(x)＝2·g3＝1/3·x(x－1)(x－2)        （1）

对于自然序列{an＝n(n－1)} 令(1)中x＝n＋1，则Sn＝1/3·(n－1)·n·(n＋1)

又如，f(x)＝x(x－1)(x－2)，我们取C。＝0，C1＝0，C2＝0，C3＝3！得f(x)＝C3·g3

所以Sf(x）＝3！·g4＝1/4·x(x－1)(x－2)(x－3)  （2）

对于自然数序列{an＝n(n－1)(n－2)}，令（2）式中x＝n＋1，则Sn＝1/4·(n－2)(n－1)n(n＋1)

以此类推对于f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)  ️，Sf(x)＝1/6·x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)

如果令x＝X+4，则多项式f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)的求和公式Sf(x)＝1/6·x(x＋1)(x＋2）(x＋3)(x＋4)(x－1）。