证明面积不超过1/8的一组凸形状可以平移填充进面积为1的凸形状内而不重叠

假设C\mathbb{R}^2中的一个凸图形,其面积为1,并假设S\mathbb{R}^2中的一组(可能是无限个)凸图形。对于S中的每个凸图形D,存在一个常数k \in \mathbb{R}使得D = kC := \{k \vec{x}: \vec{x} \in C\}。如果存在一个映射t : S \to \mathbb{R}^2,使得对于S中的每个D,通过向量t(D)平移后的内部包含在C内,并且任何S中两个不同的DD'在通过t(D)t(D')平移后,D的内部不与D'的内部重叠,那么我们说S中的凸形状可以通过平移的方式被填充到C内。证明如果S中凸形状的总面积最多为1/8,则它们可以仅通过平移的方式被填充到C内。

证:

1:缩放不变性

  • 由于D = kC,并且C的面积为 1,按照缩放公式,图形D的面积为k^2 \times \text{面积}(C) = k^2

  • 因此,每个图形D的面积是k^2,且k^2 \leq \frac{1}{8},因为题目条件中要求S中所有图形的总面积不超过\frac{1}{8},这也为后续的填充方案提供了面积上的约束。

2:总面积限制

  • 假设S中所有凸图形的总面积为A,根据题目条件,A \leq \frac{1}{8}

  • 每个图形D的面积是k^2(如前所述),因此S中每个D都符合面积不超过\frac{1}{8}的限制。我们接下来利用这一面积限制来设计平移填充策略。

3:平移映射的构造

  • 我们的目标是构造一个映射t : S \to \mathbb{R}^2,使得每个图形D可以平移到C内,且不同的D平移后不会重叠。

  • 由于C是凸的,我们可以选取一个内接正方形Q来进行构造。设Q的边长为s,则Q的面积为s^2 \leq 1

  • 我们将利用C内接正方形的性质,帮助我们进行平移填充。

4:缩放与填充正方形

  • 由于每个图形D的面积是k^2,且k^2 \leq \frac{1}{8},可以推导出k \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}

  • 通过缩放图形D到一个合适的大小,我们确保它的面积不会超过\frac{s^2}{8},即每个图形D被缩放后面积最大为\frac{s^2}{8}

  • 因为DkC,且k \leq \frac{1}{2\sqrt{2}},则D可以被缩放到一个边长为\frac{s}{2\sqrt{2}}的正方形内。

  • 进一步,假设我们将C内的正方形Q划分为 8 个小正方形。每个小正方形的边长为\frac{s}{2},其面积为\frac{s^2}{4}。每个小正方形的面积足够容纳缩放后的图形D,因为D的面积为k^2 s^2 \leq \frac{s^2}{8},而每个小正方形的面积是\frac{s^2}{4},因此,面积上满足填充条件。

  • 由于图形D是凸的,即使它的形状发生了变化,缩放后的D仍然能够适应在这些小正方形内。

5:平移策略

  • C内接正方形Q分成 8 个小正方形后,对于每个图形D,我们将其缩放至适当大小(如前所述,边长最大为\frac{s}{2\sqrt{2}}),然后将其平移到Q中一个未被占据的小正方形的中心。

  • 通过这种平移方式,保证了每个图形D都能恰当地放入C内,并且它们不会重叠。

6:不重叠性证明

  • 为了确保不同的图形DD'在平移后不重叠,我们可以利用以下策略:

  • 由于每个图形D在平移前都被缩放到一个小正方形内,而每个小正方形的面积足够容纳D,且每个小正方形只能容纳一个图形D,因此,平移后的图形DD'不会有交集。

  • 因为小正方形之间没有重叠,而且每个D被平移到一个独立的小正方形内,最终平移后的图形之间不会相互重叠。

综上,我们成功地构造了平移映射t,使得所有图形D通过平移后能够放入C内,并且它们之间不会重叠。

  • 因此,若S中凸形状的总面积最多为\frac{1}{8},则它们可以通过平移的方式被填充到C内。
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