单类SVM：SVDD

话接上文(SVM的简单推导)，这篇文章我们来看单类SVM：SVDD。可能大家会觉得很奇怪，我们为什么需要单分类呢？有篇博客举了一个很有意思的例子。

花果山上的老猴子，一生阅猴无数，但是从来没有见过其它的物种。有一天，猪八戒来到花果山找它们的大王，老猴子一声令下，把这个东西给我绑起来！

这里老猴子很清楚的知道这个外来物种不是同类，但是它究竟是什么，不得而知。老猴子见过很多猴，它知道猴子的特征，而外来生物明显不符合这个特征，所以它就不是猴子。

这就是一个单分类的简单例子。

而美猴王看到这个场景后，哈哈一笑，把这呆子抬过来！

对比二分类，显著的区别就是，二分类不但能得出来这个东西不是猴子，他还能告诉你这个东西叫“呆子”（当然我们的美猴王见多识广，肯定不止是二分类那么简单了）

今天要介绍的SVDD的全称是Support vector domain description。首先让我们简单了解一下domain description，也就是单分类问题。

单分类问题

不像常见的分类问题，单分类问题的目的并不时将不同类别的数据区分开来，而是对某个类别的数据生成一个描述（description）。这里的description比较抽象，可以理解为是样本空间中的一个区域，当某个样本落在这个区域外，我们就认为该样本不属于这个类别。

单分类问题

单分类方法常用于异常检测，或者类别极度不平衡的分类任务中。

当我们假设数据服从一个概率分布，我们就可以对这个分布中的参数进行估计了。对于一个新样本，如果这个样本在给定类别的概率分布中的概率小于阈值，就会被判定为异常样本。

但是这样的方法存在的问题是，

预先假定的概率分布对模型性能的影响很大。
当特征的维度很大的时候，该方法需要一个很大的数据集。
一些低密度区域的样本点会被误判为异常样本。

另一种思路就是，在样本空间中为此类数据划定一个大致的边界。如何划定这个边界，就是SVDD要研究的问题啦。

目标函数

假设我们有 $m$ 个样本点，分别为 $x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(m)}$ 。

我们假设这些样本点分布在一个球心为 $a$ ，半径为 $R$ 的球中。那么样本 $x^{(i)}$ 满足
$(x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)\leq R^2.$
引入松弛变量，我们允许部分样本不再这个球中，那么
$(x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)\leq R^2+\xi_i,\xi\geq 0.$
我们的目标是最小球的半径 $R$ 和松弛变量的值，于是目标函数是
$\begin{align} \min_{a,\xi_i}\ \ & R^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i\\ {\rm s.t.}\ \ & (x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)\leq R^2+\xi_i, \\ &\xi_i\geq 0,i=1,2,\cdots,m. \end{align}$
其中， $C>0$ 是惩罚参数，由人工设置。

对偶问题

使用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数
$\begin{align} L(R,a,\alpha,\xi,\gamma)=& R^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i\\ & -\sum_{i=1}^m\alpha_i\left(R^2+\xi_i({x^{(i)}}^Tx^{(i)}-2a^Tx^{(i)}+a^2)\right)-\sum_{i=1}^m \gamma_i\xi_i. \end{align}$
其中， $\alpha_i\ge 0,\gamma_i\ge 0$ 是拉格朗日乘子。令拉格朗日函数对 $R,a,\xi_i$ 的偏导为0，得到
$\begin{align} &\sum_{i=1}^m \alpha_i=1,\\ &a=\sum_{i=1}^m \alpha_ix^{(i)},\\ &C-\alpha_i-\gamma_i=0 \end{align}$
我们可以将 $\alpha_i$ 看作样本 $x^{(i)}$ 的权重。上式表明所有样本的权重之和为1，而球心 $a$ 是所有样本的加权和。将上式带入到拉格朗日函数中，得到原问题的对偶问题
$\begin{align} \max_\alpha\ \ &L(\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i{x^{(i)}}^Tx^{(i)}-\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m \alpha_i\alpha_j{x^{(i)}}^Tx^{(j)}\\ {\rm s.t.}\ \ & 0\le\alpha_i\le C,\\ & \sum_{i=1}^m\alpha_i=1,i=1,2,\cdots,m. \end{align}$
当通过求解对偶问题得到 $\alpha_i$ 后，可以通过 $a=\sum_{i=1}^m \alpha_ix^{(i)}$ 计算球心 $a$ 。至于半径 $R$ ，则可以通过计算球与支持向量（ $\alpha_i< C$ ）之间的距离得到。当 $\alpha_i=C$ 时，意味着样本 $x^{(i)}$ 位于球的外面。

判断新样本是否为异常点

对于一个新的样本点 $z$ ，如果它满足下式，那么我们认为它是一个异常点。
$(z-a)^T(z-a)> R^2.$
展开上式，得
$z^Tz-2\sum_{i=1}^m \alpha_iz^Tx^{(i)}+\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_j{x^{(i)}}^Tx^{(j)}>R^2.$

引入核函数

正常情况下，数据并不会呈现球状分布，因此有必要使用核函数的方法提高模型的表达能力。

只需将 $\cal K(x^{(i)},x^{(j)})$ 替换 ${x^{(i)}}^Tx^{(j)}$ 即可。于是对偶问题的目标函数变为
$L(\alpha)=\sum_i \alpha_i\cal K(x^{(i)},x^{(i)})-\sum_i\sum_j \alpha_i\alpha_j\cal K(x^{(i)},x^{(j)}).$
判别函数变为
${\cal K}(z,z)-2\sum_i \alpha_i {\cal K}(z,x^{(i)})+\sum_i\sum_j \alpha_i\alpha_j {\cal K}(x^{(i)},x^{(j)})- R^2.$
下面考虑核函数的影响。

多项式核

多项式核函数的表达式如下
${\cal K}\left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}\right)=\left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}+1\right)^d.$
如下图所示，多项式核实际上不太适合SVDD。特别是当d取值非常大的时候。

在不同的d值下，超球体边界的变化

高斯核

高斯核函数的表达式如下
${\cal K}\left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}\right)=\exp\left(\frac{-\left(x^{(i)}-x^{(j)}\right)^2}{s^2}\right).$
如下图，相比于多项式核函数，高斯核函数的结果就合理多了。可以看到模型的复杂程度随着 $s$ 的增大而减小。

在不同的s值下，超球体边界的变化

在python中使用

可通过下面的代码在python中使用单类SVM

from sklearn.svm import OneClassSVM

参考文献

Tax D M J, Duin R P W. Support vector domain description[J]. Pattern recognition letters, 1999, 20(11-13): 1191-1199.