3．十进位小数和循环小数

      一个十进位小数，如果小数有n个数码，可以写成f＝z＋a1·10𠆢－1＋a2·10𠆢－2＋⋯＋an·10𠆢－n．这里z是一整数．而这些a表示十分之一、百分之一等等的数码一一 0，1，2，⋯，9．在十进位数系中f简记为Z．a1a2⋯an．可以看出，这些十进位小数能写成一个普通形式的分数p/q形式，其中q＝10𠆢n．例如f＝1．314＝1＋3/10＋1/100＋4/1000＝1314/1000．如果p和q有公因子，这个十进位小数可以写成分母是10𠆢n的某个因子的分数，例如0．2＝2/10＝1/5；0．004＝4/1000＝1/250

  另一方面，当不可约分数的分母不是10的某个幂的因子时，这个分数不能表示为有限十进位小数，如1/3不能㝍成n位十进位小数(这里n为任意的有限数)，因为形如1/3＝b/10𠆢n会推出10𠆢n＝3b的等式，而这是荒谬的，因为3不是10的任意次幂的因子．但1/3＝0．333⋯＝3/10＋3/10𠆢2＋⋯＋3/10𠆢n＋3/10𠆢(n＋1)＋⋯即1/3是序列｛3·10𠆢－n｝的和，也就是说1/3可表示成10进位小数的无限和。在数轴上，我们把单位区间十等分，每个长为10𠆢－1，这时1/3在0．3和0．4之间，如果我们把每个长10𠆢－1的区间再十等分，即把单位区间10𠆢2等分，每个区间长为10𠆢－2，这时1/3在0．33和0．34之间，这样继续下去，把单位区间分成10𠆢n等分，则1/3在0．3333⋯33(n个3)和0．3333⋯34［(n－1)个3］之间．当n无限增大时，“趋向于1/3”，写成1/3＝0．333⋯ 由此可见一个有理数P/q可以写成有限十进位小数或者无限十进位小数．如果Kq＝10𠆢n(K为非零整数)，即P被q可以除尽；否则kq不等于10𠆢n，即p被q不可以除尽，会出现一个无穷循环的小数，所有循环小数都是有理数．如p＝0．33222⋯这个数，我们有p＝33/100＋1/1000·2(1＋10𠆢－1＋10𠆢－2＋⋯)

其中(1＋10𠆢－1＋10𠆢－2＋⋯)＝1/(1－1/10)＝10/9，因此p＝33/100＋2·1/1000·10/9＝299/900

对于一般的循环小数p＝0．a1a2a3⋯amb1b2⋯bn，我们令B＝0．b1b2⋯bn，使B表示这个小数的循环部分，于是p可写成p＝0．a1a2⋯am＋10𠆢－m·B(1＋10𠆢－n＋10𠆢－2n＋10𠆢－3n＋⋯)

其中(1＋10𠆢－n＋10𠆢－2n＋⋯)＝1/(1－10𠆢－n)，所以p＝0．a1a2⋯am＋10𠆢－m·B/(1－10𠆢－n)

可以看出来有理数与无穷级数是有密切关系的，如1＝1/2＋1/2𠆢2＋1/2𠆢3＋1/2𠆢4＋⋯

          9/10＋9/10𠆢2＋9/10𠆢3＋⋯＝9/10·1/(1－1/10)＝1，所以0．9999⋯＝1．类似地，有限十进位小数0．2374和无限十进位小数0．23739999⋯表示同一个有理数1187/5000，这是因为0．23739999⋯＝0．2373＋10𠆢－4·0·9·1/(1－1/10)＝2373/10000＋1/10000＝1187/5000．可见任何一个有限十进位小数都可表示成无限十进位小数。