行列式和消元法理论

1678年莱布尼茨开创了线性方程组的研究，我们今天把方程组写成，其中xi是已知量，yj是未知量，1693年莱布尼茨用指标数的系统集合表示含2个未知量x与y的三个线性方程所组成的系统的系数。他从三个线性方程中消去两个未知量，得到一个行列式，现在称为方程组的结式。行列式等于0就意味着存在一组x,y满足这三个方程。

用行列式解含2、3、4个未知量的联立线性方程，可能是1729年麦克劳林的发明，1750年克莱姆发表了一条法则用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数。1764年贝祖（也有翻译成裴蜀的）系统地确定行列式每一项符号的过程。对含n个未知量的n个齐次线性方程，贝祖证明：系数行列式为零是方程组有非零解的条件。

范德蒙首次对行列式理论做了有逻辑的连贯阐述（把行列式理论与线性方程组求解相分离），他给出法则用二阶子式和余子式展开行列式，就行列式本身研究而言，他是奠基人。

1772年拉普拉斯参考克莱姆和贝祖的工作，证明了范德蒙提出的规则，推广了他的行列式展开法，用r行所含子式和余子式展开，称为拉普拉斯展开。

前面说到三个二元线性方程有公共解的条件是结式为零，这也表示从三个方程消去x,y的结果，消元法问题也在向别的方向发展，给定两个多项式要求f=0,g=0有公共解的条件，牛顿第一个对此进行了研究，给出了从两个方程（二次到四次）中消去x的法则。

欧拉也给出了两个消元法，第二个方法是贝祖乘数法的前驱。贝祖考虑两个n次方程f(x)=0和g(x)=0，各自乘以对方最高次系数，然后相减；各自乘以（最高次系数*x+第二高次系数），再相减……，这样得到的每个方程都是x的n-1次方程，可认为这组方程是未知量为x^(n-1),x^(n-2),...,1的n个齐次线性方程的组合，这个线性方程组的结式是最初f=0和g=0的结式。

消元法理论也适用于次数高于1的两个方程f(x,y)=0和g(x,y)=0，确定两个方程公共解的个数，或者从几何角度说，求曲线交点个数，1764年贝祖首次提出了消去一个未知量的方法：把f(x,y)和g(x,y)分别乘上适当的多项式F(x)和G(x)，就能作出R(y)=F(x)f(x,y)+G(x)g(x,y)，他还寻求合适多项式使R的次数尽可能低。

贝祖和欧拉都独立地回答了结式的次数问题，两个人的答案都是mn，即f和g的次数相乘，这个乘积也是两条曲线的交点数。雅可比和Minding对于两个方程的组合也给出了贝祖的消元法，但他们未提到贝祖，可能是不知道他的工作。