阿贝尔用根式解方程的工作
当阿贝尔上中学时，他读了拉格朗日和高斯关于方程论的著作，按高斯对二项方程的处理方法探讨高次方程可解性。起初阿贝尔以为自己解决了用根式解一般的五次方程，但他很快认识到错误，然后（1824-1826）试图证明这样解不行。他成功证明了下述定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出：出现在根表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数。阿贝尔用这个定理证明高于四次的一般方程不能用根式求解。
由于不知道鲁菲尼的工作，阿贝尔的证明又迂回又不必要的复杂，他的文章关于函数分类还有个错误，还好它对论证没有本质性的影响，后来他发表了两个更细致的证明。1879年克罗内克根据阿贝尔思想作出了一个简单、直接而严密的证明。
于是阿贝尔解决了高于四次的一般方程的求解问题（呃，结果就是解不出）。他还考虑了一些特殊方程，比如他做了分割双纽线的问题，并得出一类代数方程，称为阿贝尔方程，它们是能用根式求解的。分圆方程（解x^n-1=0等价于分圆为n个等弧）是一种阿贝尔方程，更一般地说，如果一个方程的全部根都是其中一个根的有理函数（根为x1,θ1(x1),θ2(x1)一直到θn-1(x1)），这样的方程称为阿贝尔方程，还有条件：对α,β(1到n-1)，有
在这个工作中他引入了两个概念（虽然没提出术语），即域和在给定域中不可约的多项式，同后来伽罗瓦一样，他说的数域是指这样的数集：数集中任何两个数的和差积商（除了以零为除数）仍在集合中，例如有理数、实数和复数都形成域。如果一个多项式在一个域中（通常多项式系数属于此域）能表示成低次系数在此域中的两个多项式的乘积，则称为可约的，如果不能这样表示则称为不可约的。
然后阿贝尔着手讨论能用根式求解的全部方程的特性，在1829年去世前把一些结果告知克雷尔和勒让德。
