基本概念

刚体

力

力矢量

位置矢量

力系

汇交力系

平行力系

任意力系

力系等效

分布力

体力

面力

线分布力

集中力

矢量

取模

数乘

点乘（内积、标量积）

叉乘

$\begin{aligned} c=\left|\begin{array}{ccc}{i} & {j} & {k} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right|&=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) i+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) j+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) k \end{aligned}$

向量几何分解说明
$\begin{aligned} \mathbf{u} \times \mathbf{v}=&\left(u_{1} \mathbf{i}+u_{2} \mathbf{j}+u_{3} \mathbf{k}\right) \times\left(v_{1} \mathbf{i}+v_{2} \mathbf{j}+v_{3} \mathbf{k}\right) \\=& u_{1} v_{1}(\mathbf{i} \times \mathbf{i})+u_{1} v_{2}(\mathbf{i} \times \mathbf{j})+u_{1} v_{3}(\mathbf{i} \times \mathbf{k})+\\ & u_{2} v_{1}(\mathbf{j} \times \mathbf{i})+u_{2} v_{2}(\mathbf{j} \times \mathbf{j})+u_{2} v_{3}(\mathbf{j} \times \mathbf{k})+\\ & u_{3} v_{1}(\mathbf{k} \times \mathbf{i})+u_{3} v_{2}(\mathbf{k} \times \mathbf{j})+u_{3} v_{3}(\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \end{aligned}$

$\mathbf{i} \times \mathbf{i}=\mathbf{j} \times \mathbf{j}=\mathbf{k} \times \mathbf{k}=\mathbf{0} \\ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{i} \times \mathbf{j}&=\mathbf{k}\\ \mathbf{j} \times \mathbf{k}&=\mathbf{i}\\ \mathbf{k} \times \mathbf{i}&=\mathbf{j} \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} \mathbf{j} \times \mathbf{i}&=\mathbf{-k}\\ \mathbf{k} \times \mathbf{j}&=\mathbf{-i}\\ \mathbf{i} \times \mathbf{k}&=\mathbf{-j} \end{aligned} \right.$

说明：例如 $\mathbf{i} \times \mathbf{j}=\mathbf{k}$ ，四指从x正向旋转到y正向，右手大拇指指向z的正向所以为 $\mathbf k$

叉乘所得向量的取模即是两向量所成平行四边形的面积

混合积

$d=\left[\begin{aligned}{\mathbf a,\mathbf b, \mathbf c}\end{aligned}\right]=(\mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c=\mathbf a \cdot(\mathbf b \times \mathbf c)\\ d=\left|\begin{array}{lll}{a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}} \\ {c_{x}} & {c_{y}} & {c_{z}}\end{array}\right|$
$d$ 为平行六面体体积

静力学公理

力的平行四边形公理

二力平衡公理

加减平衡力系公理

在作用于刚体的力系上增加或除去一个平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。

若 $\left(\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2}, \ldots, \mathbf{Q}_{m}\right) \sim \mathbf0$ ，则 $\left(\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots, \mathbf{F}_{n}\right)+\left(\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2}, \ldots, \mathbf{Q}_{m}\right) \sim\left(\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots, \mathbf{F}_{n}\right)$

其中 $\mathbf 0$ 为平衡力系

作用与反作用公理

刚化公理

力矩与力偶

力对点之矩

$\begin{aligned} \boldsymbol{m}_{o}(\boldsymbol{F})&=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=\left|\begin{array}{ccc}{\boldsymbol{i}} & {\boldsymbol{j}} & {\boldsymbol{k}} \\ {x} & {y} & {z} \\ {F_{x}} & {F_{y}} & {F_{z}}\end{array}\right|\\&=\left(y F_{z}-z F_{y}\right) \boldsymbol i+\left(z F_{x}-x F_{z}\right) \boldsymbol j+\left(x F_{y}-y F_{x}\right) \boldsymbol{k} \end{aligned}$

力对轴之矩

$m_{z}(\boldsymbol{F})=\left(\boldsymbol{r}_{x y} \times \boldsymbol{F}_{x y}\right) \cdot \boldsymbol{k}$

力对轴的力矩为对该轴上任意点的力矩对该轴的投影，而投影可以通过点乘轴的单位矢量来实现，所以需要求出该轴的单位矢量即可
力与轴共面（平行或相交）时，力对轴之矩为零
当力沿其作用线滑动时（力所在的射线），力对轴之矩不变

力偶

定义：大小相等、方向相反、不共线的二平行力组成的力系
性质：
- 力偶无平移效应，只有纯转动效应。
- 力偶无合力（不能与单个力等效或平衡）。
- 力偶与力一样都是最简单的力系。

力偶矩

$\begin{aligned} \boldsymbol{m}_{O}\left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{F}^{\prime}\right) &=\boldsymbol{m}_{O}(\boldsymbol{F})+\boldsymbol{m}_{O}\left(\boldsymbol{F}^{\prime}\right) \\ &=\boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{F}+\boldsymbol{r}_{B} \times(-\boldsymbol{F}) \\ &=\left(\boldsymbol{r}_{A}-\boldsymbol{r}_{B}\right) \times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{aligned}$

性质：

力偶矩与矩心无关，力偶使刚体绕任意点的转动效应相同

力偶的等效定理

若作用在刚体上两力偶的力偶矩矢量相等，则两力偶等效

推论：

力偶的作用面可平行移动
力偶在其作用面内可任意转动
只要保持力偶矩矢量不变，可同时改变力偶中力与力臂的大小
力偶矩矢量是自由矢量
同一平面内的两力偶，若其力偶矩的代数值相等，则两力偶等效。
- 若确定平面，则力偶的方向确定为垂直于平面，其正负即可表示方向，所以代数值即可判定两力偶是否相等。

静力学基础