[Introduction] 时间序列

碎碎念：刚上完Time Series的课，但一直没看参考书，所以趁放假整理一波。其实选这节课之前对这课有没有用抱有怀疑，因为现在主流是机器学习，时间序列就金融用得比较多，后来是觉得为了学习的完整性，所以选了。上了以后发现比想象的有用，原来觉得这门课是孤立的，现在觉得其实还写那些东西还挺有趣，包括和Generated Additive Model,和马尔科夫链，随机游走, 甚至是波的分析都有很深的关系。
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什么是时间序列？时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列，比如气温随时间的变化,股价变化等等。一般我们会觉得因变量是连续的，比如气温，但实际上离散的点也可以看做因变量。在这个分析中，重要的不是因变量份类型，而是自变量跟时间有关，或者说，跟顺序有关。
我们做时间序列分析的目的主要是依据之前的数据来进行预测。那他和普通的回归有什么区别呢？个人认为：

对于线性回归来说，我们假设残差是正态分布的，但在时间序列中，残差与时间t有关，所以一般会把整个模型看成一个semi-parametric的模型
时间序列分析的另一个目的是模式识别，比如发现序列是不是有趋势，有周期性，在每个周期中是什么样的状态，是不是有明显的异常行为，这些事普通的回归做不到的

时间序列的模型长成这样：
$Y_t=m_t+s_t+X_t,t=1,2,...,n$ , $m_t$ 是trend, $s_t$ 是sasonality, $X_t$ 是noise,我们希望 $X_t$ 是stationary的，stationary的定义之后讲。

建模的步骤主要如下：
S1: 画图，从图上看有没有trend, seasonality
S2: Transform Y 目的是让每个波的波动幅度看起来相近，这样的话seasonality就不随着时间变化。一般常用的就是Log, $Y^{k}$ 这种，然后如果要去对数的话，可以现对整体的Y加一个常数，让所有的Y变成正数。
S3: 如果有trend, seasonality的话，找一种方法先把这两个因素remove掉，只看residual $X_t$ 。一般常用的方法是令 $X_t=Y_t-Y_{t-1}$
S4: 选模型来拟合 $X_t$
S5: 之后就可以预测了

stationarity的定义：

[Introduction to Time Series and Forecasting, 2nd ed., Springer,P13]

严格的stationarity是指 $\{X_1,...,X_h\}$ 和 $\{X_{t+1},..,X_{t+h}\}$ 有同样的联合分布
弱定义是指cov和E不随着t而改变。

[Introduction] 时间序列

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