OpenGL 3D数学

1.标量与向量相乘

k * [x, y, z] = [x, y, z] * k = [kx, ky, kz]

2.向量与标量相除等于向量乘以标量的 1/k

[x, y, z] / k = [1/kx, 1/ky, 1/k*z]

结论:标量与向量相乘相除几何意义是对向量的放大缩小--缩放

3. 向量加减法

[x1, y1, z1] + [x2, y2, z2] = [x1+x2, y1+y2, z1+z2]
[x1, y1, z1] -[x2, y2, z2] = [x1-x2, y1-y2, z1-z2]

结论:向量与向量加减法的几何意义是--平移

结论:

1.向量不能与标量相加减,没有意义
2.向量不能与不同维度的向量相加减

4.向量点乘几何意义-获取角度

a.b可以通过公式计算两个向量之间的角度-点乘必须是单位向量

5.向量叉乘的几何意义-获取垂直与a和b的向量

ab指向该平面的正上方,垂直于a和b,ab的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积 ab = ||a||||b||*sin(ab夹角)

6. 单元矩阵

1.单元矩阵,行列相等,坐上到右下对角线位置为1,其余全是0

二维单元矩阵
1 0
0 1

三维单元矩阵
1 0 0
0 1 0
0 0 1

四维单元矩阵
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

结论

单元矩阵非常特殊,因为它是矩阵乘法单位元,其基本性质是用任意1个矩阵乘以单元矩阵,都将得到原矩阵。所以在某种意义上对矩阵的作用犹如1对标量的作用

7.方阵

行数和列数相同的矩阵,成为方阵,OpenGL里面主要讨论的范畴是 22 33 4*4方阵,单元矩阵是一种特殊的方阵

8.向量与矩阵

1.向量是特殊的矩阵,行向量x, y, z可以看做1行3列的矩阵,列向量x, y, z可以看做3行1列的矩阵

9.矩阵转置

行变列,列变行,转置的转置就是原矩阵

10.矩阵相乘

矩阵相乘规则,矩阵A * 矩阵B, A的列==B的行,的出来的矩阵是一个A行B列矩阵,每一个矩阵元素的值是有一定的运算规则

举例
A 3行4列 B 4行9列,A * B = 得出一个3行9列的矩阵
3行3列方阵3行3列方阵=得出相同3行3列方阵
3行8列
8行8列=3行8列
8行8列 *8行3列=8行3列

结论:
矩阵相乘的几何意义就是记录变化

矩阵乘法注意事项

1.任意矩阵M乘以方阵S,不管从哪边乘,都得到与原矩阵大小相同的矩阵,当然,前提是假定乘法有意义,当然,每个元素的值是按照一定规则计算的,如果S是单元矩阵,结果就是原矩阵M,每个元素的值保持不变
2.矩阵乘法不满足较好绿 AB=!BA
3.矩阵乘法满足结合律 即(AB)C=A(BC),假定ABC的维度使得其乘法有意义,要注意如果(AB)C有意义,那么A(BC)就一定有意义
4.矩阵乘法也满⾜与标量或向量的结合律,即:(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB);
5.矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘法,即:(AB)T = BT AT T是上标

向量与矩阵的乘法详解

⾏向量左乘矩阵时,结果是⾏向量;
列向量右乘矩阵时,结果是列向量;
⾏行向量右乘矩阵时,结果是⽆意义;
列向量左乘矩阵时,结果是⽆意义;
矩阵与向量相乘 注意事项:
1.结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独⾏或列的点积;
2.矩阵⼀向量乘法满⾜对向量加法的分配律,对于向量v,w 和 矩阵M 有,
(v + w)M = vM + wM;

11.行向量与列向量的使用场景

为什么要使⽤⾏向量?(偏向于书写方便)

1.在⽂字中使⽤⾏向量的形式更加好书写;
2.用矩阵乘法实现坐标系转换时,向量左乘矩阵的形式更加方便
3.DirectX使⽤的是⾏向量

为什么要使用列向量?

1.等式中使用列向量形式更好
2.线性代数书中使用列向量
3.多本计算机图形学都是使用的列向量
4.OpenGL 使⽤的是列向量

矩阵几何意义

12.平移、缩放、旋转

1.⽅阵的⾏能被解释为坐标系的基向量;
2.为了将向量从原坐标系变换到新坐标系,用它乘以一个矩阵。
3.从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变化是⼀种线性变换。线性变换保持直线和平行线。但⻆度、⻓度 面积或体积可能会改变。
4.零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此,⽅阵所代表的线性变换的原点和原坐标系原点一致。变换不包含 原点。
5.可以通过想象变换后的坐标系的基向量来想象矩阵。这些基向量在2D中构成L形。在3D构成“三角架”型。⽤⼀ 个盒⼦以及辅助更有助于理解

12. 3D旋转 围绕X轴旋转-沿着x正向顺时针旋转

想让一个图形在3D中围绕X轴旋转∂度,可以将矩阵与下面这个矩阵相乘
1 0 0
0 cos∂ sin∂
0 -sin∂ cos∂
物体坐标系 x正向左,y正向上,z正向里

13. 3D旋转 围绕Y轴旋转-沿着Y正向顺时针旋转

想让一个图形在3D中围绕Y轴旋转∂度,可以将矩阵与下面这个矩阵相乘
cos∂ 0 -sin∂
0 1 0
sin∂ 0 cos∂
物体坐标系 x正向左,y正向上,z正向里

14. 3D旋转 围绕Z轴旋转-沿着Z正向顺时针旋转

想让一个图形在3D中围绕Z轴旋转∂度,可以将矩阵与下面这个矩阵相乘
cos∂ sin∂ 0
-sin∂ cos∂ 0
0 0 1
物体坐标系 x正向左,y正向上,z正向里

15. 3D旋转 围绕n轴旋转∂度

想让一个图形在3D中围绕n轴旋转∂度矩阵变换如下值
nx2(1-cos∂)+cos∂ nxny(1-con∂)+nzsin∂ nxnz(1-cos∂)-nySin∂
nxny(1-cos∂)-nzsin∂ ny2(1-con∂)+cos∂ nynz(1-cos∂)-nxSin∂
nxnz(1-cos∂)+nycos∂ nynz(1-con∂)+nxsin∂ nz2(1-cos∂)+cos∂
其中x,y,z为下标,2为上标

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 211,561评论 6 492
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 90,218评论 3 385
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 157,162评论 0 348
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 56,470评论 1 283
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 65,550评论 6 385
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 49,806评论 1 290
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 38,951评论 3 407
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 37,712评论 0 266
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 44,166评论 1 303
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 36,510评论 2 327
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 38,643评论 1 340
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 34,306评论 4 330
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 39,930评论 3 313
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 30,745评论 0 21
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 31,983评论 1 266
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 46,351评论 2 360
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 43,509评论 2 348

推荐阅读更多精彩内容