分数乘法表象之下的本质
-------浅谈分数乘以分数的算理
分数乘法是小学阶段计算领域的重要内容之一，也是难点之一，教材中通过折纸活动，让学生动手操作，直观理解分数乘分数的算理。在操作活动的背后，我们更应该从不同的角度来启发学生思考运算法则背后的道理，从而提升和培养学生的思维能力。我们尝试以¾乘以¼为例来从不同角度来解读其中的运算关系和运算法则。
一、分数与整数的相互转化
分数的乘法运算中，整数是作为重要的角色参与其中，无论是整数乘以分数还是分数乘以整数，整数都先与分数的分子相乘，相乘的积作为结果的分子。在这个过程中，分母没有发生改变。而在分数乘以分数中，两个分数的分子分母都同时参与了运算，可以看做两部分整数的乘法运算。在折纸的过程中，先把一张纸平均分成4份，取其中3份；再平均分成4份，取其中1份，一共得16份，可以看做整数的乘法4乘4,；先去3份，再取1份，共取3乘1得到3份。最后得到16份中的3份，就是计算的结果。可见整个过程是分两次，取两次，都是用整数来表示，只是最后的结果用分数来表示取得的结果。从整数的这个角度理解容易让学生接受。
二、分数单位的变化
分数乘以分数的整个运算过程是一个分数单位在发生变化的过程。以¾乘以¼为例，由原来的分数单位¼到乘积的分数单位十六分之一，分数单位变小了。说明由于连续平均分，分数单位不断在变小，所以真分数乘以真分数的成绩要比原来的乘数小。在分数大小的比较中，这也是很重要的一个性质。在教学中，让学生认识到分数单位在发生变化，有大的单位变成了小的单位，对学生理解算理十分重要。
三、除法与乘法的关系
在分数乘分数的运算中，表象看起来就是分子乘以分子，分母乘以分母，其实表象掩盖之下是除法的运算。除法的本质含义时均分，平均分一个整体，使用除法运算。把一张纸平均分成4份，再平均分成4份，就相当于平均分成16份。可以用单位“1”连续除以4，除两次，可以以看成除以4乘以4的积，这就很好解释了为什么要分母乘以分母；在平均分的基础上，再取相应的份数，第一次取三份，第二次取1份，就相当于取了3乘1，共取3份，最后得到十六分之三。可见整个运算过程，分母都是连续均分，进行除法，分子连续相乘，进行乘法运算。在教学过程中，我们可以引导学生从乘法与除法运算的角度来理解分数乘法，学生就会更深刻理解运算法则的由来。
分数作为数的一种，本源上它就是数，与除法有密切的关系，可以把分数看做除法的结果——商；二者都是因平均分的产生的运算表达，所以分数与整数除法有共性的联系，分数的运算与整数的运算就建立了共同的运算基础，通过转化的数学思想，让二者建立联系，学生就可以把新知识转化成学过了知识，运用整数的运算来理解分数，不仅提升了学生的理解能力，还让学生的思维能力得到锻炼。
