向量方法：2012年理数北京卷题16（14分）
如图1，在 中，
，
分别是
上的点，且
，
将
沿
折起到
的位置，使
，如图2.
（Ⅰ）求证：平面
;
（Ⅱ）若 是
的中点，求
与平面
所成角的大小;
（Ⅲ）线段 上是否存在点
，使平面
与平面
垂直？说明理由.
【解答问题Ⅰ】
∵ ,
∴
又 ∵ ,
∴
又 ∵ ,
∴
∵
∴ 平面
又 ∵ 平面
∴
∵
∴ 平面
. 证明完毕.
【建立坐标系】
由题设条件可知：
∵ ,
∴
以点 为原点，
为
轴建立直角坐标系，各点坐标如下：
【解答问题Ⅱ】
可令平面 的法向量为：
验算一下
求法向量是出错率高的操作，我们可以用内积验算一下：
验算通过.
结论： 与平面
所成角为
.
【解答问题Ⅲ】
因为点 在线段
上，所以可设其坐标为
，
令平面 的法向量为
若两平面垂直，则
解得：
∴ 点 坐标为
, 在线段
之外.
结论：线段 上不存在满足条件的
点.
【求平面 的法向量：内积法】
在以上解答过程中，平面的法向量是用外积法求出的。以下展示内积法求法向量。
设平面 的法向量为
, 则
于是可得方程如下：
∴
这一结论与前面用外积法得出的结论一致。
求平面 的法向量也可以用内积法。
设平面 的法向量为
, 则
于是得到方程：
令 , 则
【提炼与提高】
在问题Ⅰ中，我们由线线垂直推出线面垂直；由线面垂直推出新的线线垂直；最后推出题目要求的线面垂直关系。
这样的推导在立体几何中十分常见。
问题Ⅱ和问题Ⅲ比较适合用向量法来解答；用向量法的基础是建立坐标系。在本题中， 两两垂直，所以，就以这三条直线作为三个坐标轴。
求平面的法向量有两种方法：内积法和外积法。在本题中，我们选择外积法求解，再用内积法验算。
高中引入向量方法后，为一些复杂问题的解答提供了一个高效率的工具。但在解题实践中，相当一部分学生有这样的困扰：向量方法很容易上手，同时也很容易出错。笔者推荐两种解决办法：
（1）用外积法计算，用内积验算；
（2）用外积法和内积法分别计算，互相校验。
读者可以自行尝试。
