模型诊断——自相关

概念

自相关性是指随机误差项的各期望值之间存在着相关关系，称随机误差项之间存在自相关性（autocorrelation）或序列相关

假设4被破坏
$Cov(u_i,u_j)=E(u_iu_j)\not=0$

一阶线性自相关 $u_t=\rho u_{t-1} +v_t$

产生原因

1、经济变量固有的惯性

2、模型设定的偏误: 应含而未含变量的情形（少算一个变量）

3、模型设定的偏误: 不正确的函数形式

4、蛛网现象(Cobweb phenomenon)

5、滞后效应

6、数据的“编造”

影响

线性无偏非有效

大样本情况下一致但失去渐进有效性

显著检验失去意义

预测失效

检验

杜宾 - 沃森检验法（DW检验）只能对一阶线性自相关做检验

基本思想：

对于一阶自相关形式： $u_t=\rho u_{t-1}+v_t$ 显然，当 $\rho=0$ 时， $u_t$ 不具有一阶自相关，当 $\rho \not= 0$ 时， $u_t$ 存在一阶自相关

DW检验构造了一个统计量 $d\approx2(1-\hat{\rho})$

可以看出 $\hat{\rho}=0$ 时 $d \approx 2$ 不相关

$\hat{\rho}=1$ 时 $d \approx 0$ 正相关

$\hat{\rho}=-1$ 时 $d \approx 4$ 负相关

由于统计量d不是由随机项u来构成，而是由其估计量 $\varepsilon$ 构成的，因为u不可观测，所以d的实际分布无法求出。

但杜宾和沃森证明了d的真实值分布介于两个极限分布之间，

一个是下极限分布其下临界值用 $d_L$ 表示，上临界值用 $4-d_U$ 表示

一个是上极限分布其下临界值用 $d_U$ 表示，上临界值用 $4-d_L$ 表示

做假设检验 $H_0 : \rho = 0$

当 $d<d_L$ 或者 $d>4-d_L$ 时拒绝原假设，表示存在自相关

当 $d_U<d<4-d_U$ 时接受原假设，表示不存在自相关

其他部分为不确定部分

[图片上传失败...(image-9e5ed0-1611652912871)]

解决办法

广义最小二乘法：

设模型 $y_t = \beta_0 +\beta_1x_t+u_t$ .......(1)

存在一阶线性自相关 $u_t=\rho u_{t-1} +v_t$

从而有 $y_{t-1} = \beta_0 +\beta_1x_{t-1}+u_{t-1}$ .......(2)

(1) - (2) => $y_t-\rho y_{t-1} = (\beta_0 -\rho \beta_0)+\beta_1(x_t-\rho x_{t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}$ ) .......(3)

令 $\begin{cases} y^*_t = y_t-\rho y_{t-1} \\ x^*_t =x_t-\rho x_{t-1} \\ \alpha = (1-\rho \beta_0) \end{cases}$ 则模型（3）可变为： $y^*_t = \alpha +\beta_1 x^*_t+v_t$

对其使用OLS即可求出各估计量

预测时，使用模型
$\hat{y}_{t+1}-\rho y_t = \hat{\alpha}+\hat{\beta}_1(x_{t+1}-\rho x_t )$
进行预测

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