微积分学习笔记-不定积分、微分方程和建模

给出函数f的所有的反导数的公式是不定积分。根据中值定理，我们只要找到一个反导数，就可以找到所有反导数。

求反导数：不定积分

定义一个函数的反函数

一个函数F(x) 是另一个函数f(x)的反导数，如果
$F'(x) = f(x)$
f的全体反导数组成的集合叫做不定积分，记作
$\int_{}{}f(x)dx$
其中 $\int$ 称为积分号，函数f为积分的被积函数, x为积分变量。

我们有一个f的反导数F, 其他原函数和这个反导数只差一个常数。我们用以下公式表明这种关系
$\int_{}{} f(x) dx = F(x) + c$

例1 计算 $\int_{}{}2xdx$

$\int2xdx = x^2 + C$

积分公式

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\int dx = x + C$
$\int sin(ks) dx = -\frac{cos(ks)}{k} + C$
$\int sec^2 (x) dx = tan(x) + C$
$\int csc^2(x)dx = -cot(x) + C$
$\int sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C$
$\int csc(x) cot(x) dx = - csc(x) + C$

例2 求积分

$(a). \int x^5 dx = \frac{x}{6} + C$
$(b). \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \int x ^{-1/2} dx = 2 x^{1/2} + C = 2 \sqrt{x} + C$
$(c). \int sin(2x)dx = \frac{cos(2x)}{2} + C$
$(d). \int cos\frac{x}{2}dx.= \int cos(\frac{x}{2})dx = \frac{sin(x/2)}{1/2} + C = 2sin(\frac{x}{2}) + C$

建模步骤

步骤1. 观察现实世界行为
步骤2. 为确定变量及其关系做假设，建立模型
步骤3. 求解模型得到数学解
步骤4. 解释模型并将其与现实世界的观察对比

例3 一个包裹从气球上掉落，气球当时离地80英尺，正以12英尺每秒速度上升。多长时间该包裹掉落地面?

设时刻t的时候包裹速度为v(t), 离地高度为s(t). 重力加速度为32英尺/秒. 有
$\frac{dv}{dt} = -32$
$\int \frac{dv}{dt} dt = \int -32 dt$
$v = -32t + C$
由于 $v(0) = 12$ , C = 12.
则
$v = -32t + 12$
$\frac{ds}{dt} = -32t + 12$
$\int \frac{ds}{dt} = -16t^2 + 12t + C$
由于s(0) = 80, 有
C = 80.
则距离函数为
$s(t) = -16t^2 + 12t + 80$
当包裹到达地面时，
$-16t^2 + 12t + 80 = 0$
则 $t =\frac{-3\pm\sqrt{329}}{-8}$
由于负根无意义，则 $t =\frac{-3-\sqrt{329}}{-8} = 2.64$

最后编辑于：2019.12.02 22:42:24

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 214,588评论 6赞 496
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 91,456评论 3赞 389
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 160,146评论 0赞 350
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,387评论 1赞 288
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,481评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,510评论 1赞 293
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,522评论 3赞 414
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,296评论 0赞 270
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,745评论 1赞 307
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,039评论 2赞 330
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,202评论 1赞 343
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,901评论 5赞 338
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,538评论 3赞 322
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,165评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,415评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,081评论 2赞 365
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,085评论 2赞 352