第四章 方阵特征值和特征向量的计算
对 n 阶方阵 ，若存在常数
（可能是复数）和 n 维非零向量
（分量可能是复数），满足
，则称
为
的一个特征值，称
为
的对应于特征值
的特征向量。
特征值和特征向量具有如下性质：
- 特征方程
；特征向量不唯一。
- 若
是
的特征值，
是
的某一多项式，则矩阵
的特征值为
。特别地，
的特征值为
；若
是
的特征值，相应的特征向量保持不变。
- 若
，其中
，且
的第
列是
所对应的特征向量。
- 若
，则称
相似，相似矩阵具有相同的特征值。
4.1 乘幂法
- 乘幂法
用于求解矩阵按模最大特征值及其对应的特征向量。
设 n 阶矩阵 具有 n 个线性无关的特征向量
，相应的特征值
满足
,则对任取的非零向量
，由
可产生一个向量序列
。
对上述向量序列 有：
- 1)
(
)；
- 2)
.
其中 是
所对应的特征向量，
表示
的第
个分量。
- 改进的乘幂法
设 为非零向量，将其规范化得到向量
，其中
表示向量
的模为最大的分量。
取初始向量 ，规范化得到
，构造向量序列：
则有：
常取初始向量 。
例子
求矩阵
的按模最大特征值 和对应的特征向量。
解
，而精确解为
。
- 反幂法
用于求矩阵 的按模最小特征值及其对应的特征向量。
用乘幂法求出 的按模最大特征值和对应的特征向量，就可以获得
的按模最小特征值和对应的特征向量。
任取初始非零向量 ，构造向量序列：
则有：
其中，方程组 可通过矩阵三角分解的方法进行求解，进而得到向量序列
。
例子
求矩阵
的按模最大特征值 和对应的特征向量。
解
第一步：做 的
分解，得到：
第二步，迭代求解：
即： 。
该问题的精确解为： 。
4.2 Jacobi 方法
Jacobi 方法用于求解实对称矩阵的所有特征值和对应的特征向量。
- 平面旋转矩阵
对平面上的双曲线 可作正交相似变换
可将其约化为实轴和虚轴均在坐标轴上的标准形式： .
对一个实对称矩阵实施正交相似变换可以将其约化为对角矩阵。
Jacobi 方法就是利用一系列特殊的正交相似变换，逐次将实对称矩阵约化为对角矩阵。
得到的对角矩阵的主对角元素就是所求的特征值，而用于正交相似变换的正交矩阵的各列就是相应的特征向量。
平面旋转矩阵：
平面旋转矩阵也称为 Gicens 矩阵，其几何意义是由其定义的线性变换，使得 n 维空间的第 个坐标轴和第
个坐标轴所构成的坐标平面旋转了
的角度。平面旋转矩阵是正交矩阵，并且变换
只改变了矩阵A 的第 p 行、第 p 列，和第 q 行、第 q 列的元素。
- 古典 Jacobi 方法
例子
用古典 Jacobi 方法求矩阵 A 的全部特征值和特征向量，误差限为 0.0005.
解
第一步：将矩阵 A 中的 化为 0，有
第二步，将矩阵 中的
化为 0，有
第三步，将矩阵 中的
化为 0，有
重复上述过程有：
由此得到 的误差限为 0.05% 的三个近似特征值为：
。
对应的近似特征向量为：
- Jacobi 过关法
4.3 QR 方法
QR 方法可用于求解一般矩阵的全部特征值。
- Householder 变换
设 是 n 维列向量，且
，称矩阵
为 Householder 矩阵，也称为镜像变换矩阵。
- 对 n 维向量 x,y，若
，则存在镜像矩阵 H，使得
。
- LR 分解
LR 方法是目前求解矩阵所有特征值的最有效方法。
对 作分解
，其中
非奇异，反序相乘有
。又作分解
，其中
非奇异，反序相乘有
。
产生矩阵序列 ，满足：
由 可知，矩阵序列
是相似矩阵序列，因此它们具有相同的特征值。
例子
用 LR 方法求对称正定矩阵的所有特征值。
解
对 A 使用 Cholesky 分解得到：
反序相乘得到：
若干次分解并反序相乘得到：
- QR分解
