• 参考协和八——说人话的统计学

1. 部分略去

• 一直到“独立样本的 t 检验”之前我认为推文写得没有《概率论与数理统计》教科书好。

2. 独立样本的t检验

• 用于比较来自两个独立总体的样本的均值
• 由于我们是在比较两个样本，而这两个样本可能来源于两个不同的分布，因此在确定 t 统计量的分母时，我们需要考虑两个样本所来自的分布是否有相同的发散程度（即方差）。
• 判断两个样本的方差是否相等，可以使用Levene氏检验，其原假设为两个分布方差相等。
• 当方差相等与否时，具体 t 统计量长啥样依旧需要看《概率论与数理统计》教科书。

3. t 检验不能做什么

1. 不能用于非连续变量的比较

特别注意对离散型变量使用t检验也是可以算出结果的，但是这个结果没有意义。

2. 不能用于超过两组变量之间均值的比较

讲到方差分析时再详细讨论。

3. 不能用于不服从正态分布的变量的比较

下一节具体讲判断

4. 服从正态分布

• 在我们推导 t 检验背后原理的时候，其实涉及到了三个概率分布：
  1. 总体的分布
  2. 样本的分布
  3. 抽样分布：样本平均值（或者样本的其他统计量，如标准差等）因为抽样随机性产生的分布，称为抽样分布。
• 由于 p 值的定义：在原假设为真的前提下，观察到与我们的数据相同或更极端的数据的概率。这是一个和抽样分布相关的概率，所以抽样分布为正态分布时，计算出的 p 值才准确，而根据中心极限定理，只要数据量足够大，即使原数据有点偏离正态分布，抽样分布也会近似为正态分布，所以这时也可以使用 t 检验。

4.1. 判断是否服从正态分布的方法

• 定性方法

  • 频率分布图
  • q-q 图

  计算机模拟出正态分布对应的n 分位数（此为第一 q，对应 x 坐标）；同时，将待检验数据从小到大排列，就可以得到数据的n 分位数（此为第二 q，对应 y 坐标）
  

• 定量方法

  • 夏皮罗－威尔克检验（Shapiro-Wilk test）和科尔莫戈罗夫－斯米尔诺夫检验（Kolmogorov-Smirnov test）
  • 原假设为数据符合正态分布

  使用这些检验的时候要注意，当样本足够大时，只要数据稍有一点偏离正态分布，p 值就总能小于 0.05，因而检验的结果总是倾向于显示数据为非正态分布。也就是说，如果我们的样本足够大，即使夏皮罗－威尔克检验或科尔莫戈罗夫－斯米尔诺夫检验给出小于 0.05 的 p 值，数据来自的总体仍可能是服从正态分布的。

• 当然如果数据量太小，上面的这些方法可能都无法给出可信的关于数据正态性的判断，这时候还需要根据产生测量数据的物理过程，考虑数据是否可能是正态分布。

4.2. 样本量

• 之前提到“样本量足够大时，抽样分布会近似正态分布”，那么究竟是多大呢？
• 对于有些总体分布，15个样本就绰绰有余，而对另一些总体分布，可能需要非常大的样本量才能使抽样分布近似正态分布，比如离散型变量。

4.3. 数据不正态的处理方式

1. 增加样本量
2. 做数据变换，改变总体分布
3. 使用其他检验（其他章节会提及）

4.4. 数据变换

• 也就是选择一个函数f作用于样本，虽然是对样本做变换，但同时也改变了总体的分布。
• f必须是单调的。
• 大部分非正态都是偏态（符合中间高两边低但不符合左右对称）
• 对于右偏分布（指的是尾巴的方向），可以采用对数函数、平方根、三次方根等。
• 对于左偏数据，可以取负数，也可以采用二阶导数为正的增函数，如平方、指数函数等。
• 采用Box-Cox变换，可以根据一定的标准自动找出最佳的变换函数。

利用计算机找到使变换后的样本最接近正态分布的λ，本质是计算取各个λ时正态假设下的似然函数。

• 数据变换的局限性
  • 不能解决所有非正态性问题
  • 对数据进行变换之后，重新进行原来计划的统计检验，其意义会发生变化，但是对数变换是一个例外，对数变化后新数据的算术平均数就是原数据的几何平均数，也可以表示样本数据的集中趋势，因此对数变换有相对明确的意义，应用也比较多。

5. 显著性与效应大小并重

• 样本量大小对 p 值会有很大影响。（低 p 值极有可能是效应大也可能是样本量大）

5.1. t检验的效应大小：Cohen 氏 d 值

• • 其中 μ 为总体的真实均值，μ₀ 为标准值，而 σ 为总体的标准差。当然，总体的参数我们无法得知，因此要用样本的均值和标准差代替。
  • 分子体现了样本相对于标准值的偏离程度，分母体现了结果的不确定性（不确定性大时效应小）
• Cohen氏d值使我们能够把来自完全不同的数据的若干 t 检验的效应大小放在同一个尺度上比较。
• 怎样的效应算是大呢？
  • Cohen 氏 d 值的发明人 Jacob Cohen 曾经提出过一条经验准则，把 d 值为 0.2，0.5 和 0.8 的效应分别称为小、中、大效应。但这只是一个参考。

5.2. 成对样本 t 检验的效应大小

• 其中 μ_x、μ_y 为两个成对总体的均值，σ_x、σ_y 分别为各自的标准差，而 ρ_xy 为两个总体之间的相关系数

5.3. 独立样本 t 检验的效应大小

6. 置信区间

6.1. 为什么需要一个区间

• Cohen 氏 d 值把平均值的差别放在分子上，而把标准差放在分母上，从而是一个融合了平均值的差异及其不确定性的量。但有两个小缺点：
  • 这只是一个点估计，其精确值很可能是产生样本时随机性的结果。与其纠结于小数点后几位，更重要的其实是它的大致范围，比如效应大小大约在 0.3 和 0.35 之间，至于到底是 0.328 还是 0.315 还是 0.346，多数情况下其实都无关紧要。
  • 由于去除了单位，虽然便于比较，但也给结果的解读带来了困难。
• 因此，我们使用区间估计，找置信区间。

6.2. 置信度

• 如果我们重复从同一个总体中获得样本，用同样的方法构建出许多用于估计效应大小的区间，这些区间中包含真实值的比例就是区间估计的置信度，置信度越高，区间就越宽，估计的不确定性就越高。
• 置信度为95%的置信区间：如果从同样的总体中生成许多个样本，根据每个样本的数据各找出一个这样的区间，则在所有这些区间里，有 95% 会包含真实值。

7. 结果展示

• 文字：用单样本 t 检验对比了...的区别，发现样本的平均值＝...，标准差＝...，95% 置信区间 [...，...] ）与标准值...有显著区别（ t (自由度)=..., p < ... ）。
  • 检验类型
  • 数据的特征：平均值、标准差、置信区间
  • t 统计量及自由度（在单样本情况下是等于样本量减 1，在独立样本且两个样本方差相等的情况下等于总样本量减 2）
  • p 值
  • 不同的杂志对统计结果的格式会有不同的要求，投稿前要记得检查一下杂志的具体要求，或者翻一下杂志近期发表的文章。
• 图
  • 散点图、箱线图、柱状图
  • error bar有两种，标准差（ standard deviation, 缩写为 sd 或者 std ）和测量标准误差（standard error of the mean，缩写 se 或者 sem ）。后者是前者除以 √n，这里 n 是样本量，所以测量标准误差比较小。
  • 对于成对样本 t 检验（如 30 周的小鼠是不是比 20 周的更重），可以用连线的散点图，更清晰地展示数据的变化

8. 注意

• 显著性的差异 ≠ 差异的显著性
• 数据点需独立（只要某两个数据点之间存在某种已知的、与它们和其他数据点之间不同的联系，它们就是不独立的）