4.1.1 什么是群？
旋转矩阵R对加法是不封闭的，意思是，对于任意旋转矩阵 、
，按照矩阵加法对它俩做加法运算，结果不是一个旋转矩阵，它没有意义:
旋转矩阵只有乘法运算有意义，所以把这种只有一种有意义运算的集合称为群(Group)。
我们把 集合记作 A，运算记作 ·，则 ，它满足以下几个条件：
- 封闭性：
- 结合律：
- 幺元：
- 逆：
常见的群有 数加法 (Z, +)，但它不属于 李群。
李群 是指具有连续性质的群。
4.1.2 李代数的引出
对于任意旋转矩阵 R, 它满足 , 如果
随时间变化，则有时间的函数
，且依然满足：
对上式求导得：
整理得：
可知， 是一个反对称矩阵。
对于一个反对称矩阵，可以找到一个向量，使得
，也可以表示为
.
所以我们把 表示为：
等式两边右乘 ，得：
所以：对 求导，只需左乘一个
即可。
当 时，
，设
，可得：
我们可以看到，旋转矩阵 与另一个反对称矩阵
通过指数关系发生了联系。
结论与问题：
(1) 给定某个时刻的 , 可以求得一个
,
描述了
在局部的导数关系。我们称
是对应到 SO(3) 上的李代数
;
(3) 给定 ，计算
的方式称为 李群与李代数的指数映射;
(3) 给定 ，计算
的方式称为 李群与李代数的对数映射;
