学习三维物体的旋转涉及到四元数，于是试图理解四元数的原理，但是被搞晕了，文章也只写了一半。不过不理解原理似乎也不影响使用，那就先用着吧，后面需要更进一步用到的时候再来啃。
文章还是发出来记录一下我挣扎的过程。
一、先导定义
这里我们讨论的是含有复数的多维空间，复向量的乘法和普通向量的乘法不一样，注意区分。
广义球 n维复空间中的单位复向量组成的(n-1)维物体。（n维复空间的广义球可以看作n维复空间的某个特殊的微分）
例如：二维复空间的广义球是一维的单位圆线，三维复空间的广义球是单位球面，四维复空间的广义球是三维的单位球体。
广义虚平面 n维复空间中，由虚数轴组成(n-1)维物体。
例如：二维复空间的广义虚平面是i轴组成的一维直线，三维复空间的广义虚平面是i轴与j轴组成的二维平面，四维复空间的广义虚平面是i，j，k轴组成的三维空间。
球极投影点 n维复空间中实部为-1，虚部为0的点。
例如：二维空间的球极投影点是(-1,0)，三维空间的球极投影点是(-1,0,0)，四维空间的球极投影点是(-1,0,0,0)。
球极投影 从球极投影点出发，把n维复空间的广义球展开到n维复空间的广义虚平面上。注意：球极投影并不是高维度复空间向低维度复空间的展开，而是同维度之间的投影。
复数乘法 n维复数w左乘广义球上的某个点，可以理解为对w施加了一定角度的旋转变换。因此一般情况下的复数相乘（不是向量相乘）a·b可以表示为a/|a|·|a|b，即对|a|b施加了一定的旋转操作。
下面我们对二维，三维，四维空间分别讨论它们的球极投影和复数乘法。
二、二维复空间
球极投影：二维复空间的球极投影如下图。
从(-1,0)出发，作直线，把直线和广义球的交点投影到直线和i轴的交点上。
球极投影的特征
1、广义球上越靠近球极投影点的点，投影之后离原点越远。球极投影点本身对应广义虚平面上的无穷远处（实部越大，越靠近原点）
2、(0,i)、(0,-i)两点的投影点就是它们本身
3、单位圆线投影到了i轴直线上（单位圆线之外的复向量并没有参与投影）
复数乘法
左乘一个单位复向量z，相当于用手抓住(1,0)，然后旋转复平面，直到(1,0)和z重合。如下图
复数乘法的特征
1、左乘i代表逆时针旋转90°，把这一变化应用到广义球上。如下图
然后观察广义虚平面上的投影变化。可以发现：
①原本在0的点移动到了i上
②原本在i的点移动到了-1上（无穷远处）
③原本在-1（无穷远处）的点移动到了-i上
④原本在-i的点移动到了1上
三、三维复空间
球极投影：二维复空间的球极投影如下图。
从(0,0,-1)出发，作直线，把直线和广义球的交点投影到直线和i-j轴组成的平面的交点上。
球极投影的特征
1、广义球上越靠近球极投影点的点，投影之后离原点越远。球极投影点本身对应广义虚平面上的无穷远处（实部越大，越靠近原点）
2、经过(i,0)，(j,0)，(-i,0)，(-j,0)四个点的圆线，它的投影点就是本身。
3、单位圆面投影到了i-j轴组成的平面上（单位圆面之外的复向量并没有参与投影）
4、所有i-j轴平面上的直线，都来自于广义球上经过球极投影点的圆线
四、四维复空间
四维空间对我们来说是不可理解的，因此从现在开始，我们只能运用在二维、三维空间积累的经验来试图探索四维空间的球极投影和复数乘法。
球极投影
四维复空间的广义球是模长为1的四维向量组成的三维物体。
四维复空间的广义虚平面是i-j-k轴组成的三维空间。
四维复空间的实数轴以一种人类无法理解的方式垂直于三维世界的三个虚数轴，而球极投影点就在实数轴的-1处。
四维广义球上的实部为1的点被投影到(0,0,0)。实部为-1的点被投影到无穷远处
三维世界中的单位球面，就是四维超球投影到三维世界中保持不变的那一部分，这个球面代表所有实部为0的四维复向量。
实部越大越靠近原点。
四维空间中模长不为1的点不会被投影到三维空间。
三维复空间中，广义球（球面）上任何一个过(-1,0,0)的圆线，在广义虚平面（平面）上都对应一条直线。四维复空间中，广义球（三维物体）上任何一个过(-1,0,0,0)的球面，在广义虚平面（三维世界）上都对应一个平面。
