【初中数学】趣味题三角形面积计算

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

适用阶段：初二上学期，学完三角形(人教版第十一章)。

题目

$如图， \triangle ABC 的面积为1,\\ 第一次操作，分别延长AB, BC, CA 至点A_1, B_1, C_1, \\ 使得A_1B=AB, B_1C=BC, C_1A=CA, \\ 顺次连接A_1, B_1, C_1, 得到\triangle A_1B_1C_1, \\ 第二次操作，分别延长A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1至点A_2, B_2, C_2, \\ 使得A_2B_1=A_1B_1, B_2C_1=B_1C_1, C_2A_1=C_1A_1,\\ 顺次连接A_2, B_2, C_2, 得到\triangle A_2B_2C_2, \\那么\triangle A_2B_2C_2 的面积是 \_\_\_\_\_\_.$

q1_1.png

思路分析与解答

这里核心考察的就是，同底等高。
两个三角形，底的长度相同，共用一个高，则这两个三角形面积相等。

我们先来看第一次操作后的效果，如下图

q1_3.png

$\begin{align} & 连接AB_1, BC_1, CA_1, \\ & 观察\triangle ABC 和 \triangle ACB_1, 他们的底相同(BC = CB_1), \\ & 底边上的高相同, 都是点A到BB_1的距离。\\ & \therefore S_{\triangle ACB_1} = S_{\triangle ABC} = 1 \\ & 再观察\triangle AB_1C_1 和 \triangle ACB_1, 他们的底相同(C_1A = AC), \\ & 底边上的高相同, 都是点B_1到CC_1的距离。\\ & \therefore S_{\triangle AB_1C_1} = S_{\triangle ACB_1} = 1 \\ & 同理可得，其他小三角形的面积也为1。\\ & 即 S_{\triangle A_1BC_1} = S_{\triangle BAC_1} = S_{\triangle A_1BC} = S_{\triangle A_1CB_1} = 1\\ & \triangle A_1B_1C_1 里共有7个小三角形，\therefore S_{\triangle A_1B_1C_1} = 7\\ \end{align}$

同理可得
$S_{\triangle A_2B_2C_2} = 7 S_{\triangle A_1B_1C_1} = 49$

正确答案是49

完整图像如下（画出 $A_2B_2C_2$ )

q1_3.png

最后编辑于：2022.06.15 21:34:08

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