引言
19世纪的所有发现中，非欧几何在技术上是最简单的，意义也是最深远的。这个创造启发了一些数学的重要新分支，其最重要的影响是迫使数学家从根本上改变对数学性质的理解，以及数学和物质世界的关系的理解，引出许多关于数学基础的问题，这些问题在20世纪仍在进行争论。非欧几何是在欧几里得几何领域中一系列长期努力所达到的顶点，在19世纪早期就成熟了，和射影几何复兴同一时代，但二者当时并无关联。
1800年左右欧几里得几何的情况
虽然希腊人承认抽象/数学空间不同于感性认识的空间，牛顿也强调了这一点，但1800年左右大家还认为欧几里得几何是物质空间和物质空间内图形性质的正确理想化，很多人想把逻辑基础模糊的算术、代数和分析建立在欧几的基础上来保证这些分支的正确性，比如牛顿的老师艾萨克巴罗把他的数学建立在几何基础之上，他认为几何原理来自内在理性，为长期经验证实，未来也是如此，将几何奉为真理。
17世纪末和18世纪初的哲学家问：何以确定牛顿科学所产生的大量知识是正确的？几乎所有人，包括霍布斯、洛克、莱布尼茨都回答，因为数学定律和欧氏几何一样是宇宙固有的设计。只有大卫休谟否认宇宙有一定法则或必然顺序，他认为所谓先后顺序只是观察的结果，不能由此断定它们永远以同样方式出现。科学是纯粹经验性的，欧氏几何定律未必是物理的真理。
康德否定了休谟的怀疑论，他在《纯粹理性批判》中将我们的意识提供空间和时间的某些组织形式称为直观，认为经验按照此模式或直观被意识所吸收、组织。我们的意识生来如此，迫使我们只按一种方式观察外部世界，因此关于空间的某些原理是先于经验而存在的。康德将这些原理及其逻辑推论称为先验综合真理，即欧氏几何。我们认识外部世界的唯一方式就是我们的意识迫使我们解释它的方式，因此康德断言物质世界必然是欧几里得式的。（牛逼啊康德，就这么几句话已经把我看晕了）
总之，不管是诉诸于经验、还是依赖于固有真理、还是接受康德的观点，都认为欧氏几何是唯一与必然的。
