符号说明
- 与参考文献2中一致
Popov超稳定性概述1
对于连续时间线性定常系统,超稳定性成立的条件有两个:
- 输入输出积分满足Popov积分不等式:
- 传递函数矩阵满足正实性。
在MRAS中的应用,以PMSM参数辨识为例
在参考文献2中,可以看到本身模型参考自适应原理比较简单,只是对于控制器设计和稳定性证明比较麻烦,用到了Popov超稳定性理论来设计控制器。
首先,参考模型选择与源模型相同,构造了一误差系统,只要保证该误差系统的状态变量收敛到0,则电机参数即可估计出来。
其中为误差矢量,。取,则有:
通过设计来保证系统传递函数矩阵严格正实3,设计来保证满足输入输出Popov积分不等式。在该系统中,有,取均为PI类型的控制器,有:
将上计算式带入到Popov积分不等式中,其中即为误差系统中的,则为误差系统中的,借助matlab符号运算,即可得到化简后的Popov积分不等式如下:
其中,为一误差系统中与系统变量(即误差)初值相关的量。可以看到,要满足上式,即使:
均满足即可。以上三式中第一个不等式为例,将其拆开,可以得到:
均满足即可。对于上两式中的第一式,可以利用如下不等式:
取,则可以得到:
而对于上两式中的第二式,可以直接取即可保证不等式成立:
因此,对于的控制率可以选择:
即可保证误差系统满足Popov超稳定性条件。使用同样的方法,即可得到的控制率如下:
Note
值得注意的是,文献2中利用MRAS同时辨识出三个电机参数,但实际上系统模型的阶数仅为两阶,因此个人觉得应该是有些许错误,在实际仿真时也印证了这一点:只有两个参数时辨识才准确,若三个参数同时辨识,结果将不准确。
参考文献
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<div id="refer-anchor-2"></div>
- [2] Quntao An and Li Sun, "On-line parameter identification for vector controlled PMSM drives using adaptive algorithm," 2008 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference, Harbin, 2008, pp. 1-6, doi: 10.1109/VPPC.2008.4677634.
<div id="refer-anchor-3"></div>
- [3] Xu Junfeng, Xu Yinglei, Xu jiangping, et al. “A new control method for permanent magnet synchronous machines with observer”, Aachen Germany: 35th IEEE Power Electronics Specialists Conference, 2004.
附录
- matlab公式化简源码
clc;
clear all;
syms a b c A B C Ag Bg Cg e dltA dltB dltC i ig we id iq idg iqg ag bg cg e ud uq u real
A = [-a we;-we -a]
Ag = [-ag we;-we -ag]
B = [b 0;0 b]
Bg = [bg 0;0 bg]
C = [0;-we*c]
Cg = [0;-we*cg]
dltA = A - Ag
dltB = B - Bg
dltC = C - Cg
i = [id;iq]
ig = [idg;iqg]
e = i - ig
u = [ud;uq]
clc
-(dltA*ig + dltB*u + dltC)' * e