《为生长而教：小学数学教学新探索》
杜威曾经说过“教育即生长”这一句看上去非常简单，却有着十分丰富内涵的话。
“孩子在课堂上学习不应该像生产机器那样，一个部件一个部件做好后再来拼装；不应该像生产家具一样，是先做好桌面，再做桌腿，然后拼装组合。人的生命自始至终都是一个整体发育生长的过程，在妈妈肚子里不会是先长头，再长手和脚，一定都是在同步发育，而且一定是自我生长。人在牙牙学语时也是如此，是一个自我感应后的自然长成。到了学龄时更应该是如此，他们在课堂上的汲取、理解、掌握、运用、创造应该也是整体的发育和生长，无论知识与经验，无论方法与思想！”恩师的一席话点醒了我。是啊，数学学习应该遵循人的发育规律，应该是一个自然的、主动的生长过程。我生在农村，从小到大见多了庄稼的生长。我们的庄稼不就是自己在努力发育生长吗？因此，我认为教和学的关系不应该是“工匠和产品”，更像是“农夫和小苗”。与工匠产品相比最大的区别是，小苗是有生命的，农夫只是帮助小苗自己成长。知识、能力、兴趣、习惯等各方面的素养，就是他成长的内容和表现，而且花开有季，他一定能成长，能充盈在允许他成长的全部空间，最后结出丰花硕果。
为生长而教，就是把课堂比做农田，我要为我的“小苗们”创造阳光、水分、沃土，让他们能自由努力地自己生长！儿童有探索和生长的本能，学习只有与儿童生命机制相结合，利用儿童天赋的学习本能，才能使儿童的学习天性得以发扬，借助于先天的悟性和情感，实现学习自主！而生长，恰好就是生命形态的最好表达式。
那么，生长应用于数学课堂的抓手是什么？牵动学生去努力生长的载体是什么？
对于数学课而言，思维应该是其间最本质的载体。而要让它有所成长，实属不易。把它看成容器吧，那会忽略生命的意义；把它看成工具吧，那又强化了机械的意味。每个生命个体的思维方式、思维习惯、思维品质都有不同，对一线教师而言，这才是最直接的挑战。
“我们研究课一定要先研究学生，学生绝非一张白纸，而是一颗种子，他带有能量，随时都在生长，随时都在准备生长。我们不研究学生，上出来的课就是完成数学知识的教学，而没有数学思考。没有数学思考的教学，数学学习就会比较单薄，学生会感觉没有新鲜感，他就不来理睬你了。所以我们上数学课一定要想办法贴近学生的经验，学生的所有经验会支撑他们去思考、去突破，他们的思维一定会被打开。有思维就会有疑惑，有疑惑就会有味道，让他们自己慢慢地在思考中完成对经验的改造和重组。我们的任务是设计好‘材料’、安排好‘序’，让学生在经验和思维中体悟数学的本质。”
孩子的成长一直与自身思维的生长时刻交织在一起，孩子的经验是他们思考的源泉！我们常常忽视学生自己的经验和思考，把我们成人的设想努力地教给孩子。于是学生没有空间来呈现他们的想法，没有机会来完成自我实现，课堂还是教师演绎和炫技的舞台。让课堂从“生产”走向“生长”，首先要改变我们自己！
由此让我感悟到，在尊重生命个体的同时，也要尊重生命个体的思维特征，还应尊重其原有知识结构的起点和延伸。与生命的培育不同，仅提供知识“食粮”给思维是不够的，这不是给多给少的问题，而是怎么给的问题。找准学习的生长点，舒展学生的思维，顺学而教，实现自我拓展，这种教学方式，或者我们可以把它称为导学方式，应该充满童趣、步步攀登，带给师生由内而外的变化。这不禁让我想起德国教育家第斯多惠说过的话：“教学的艺术不在于传授本领，而在善于激励、唤醒和鼓舞。”因此，激励孩子的内心学习渴求，唤醒孩子的内心生长因子，鼓舞孩子的内心成长动力，是我们一线老师最应该下血本的地方，决不能在题海训练中迷失教育的方向。我们的期待应该是让每个孩子在数学课上能够发现自己的潜能与天赋，在和新事物新问题的相遇过程中发现自我、成就自我，长成最好的自己。
一年又一年的生长数学教学探索，我逐渐明白，促进生长的关键是基于经验的自我反思、基于体验的自我感悟，从而让学生自主完成经验的改造和重组。我们教育的工作不是为了训练出答题的“工具”，而是让每个孩子能自我觉醒，让他养成激发自己、突破自己的习惯去努力生长。有觉醒和努力的生长课堂，是一个经验的交换场，一个思维的碰撞场，是一个能听到“拔节声音”的“小农场”。
生长数学
什么是生长呢？从物理的角度看，生长是动物体尺寸的增长和体重的增加；从生理的角度看，生长则是机体细胞的增殖和增大，组织器官的发育和功能的日趋完善；从生物化学的角度看，生长又是机体化学成分即蛋白质、脂肪、矿物质和水分等的积累；从热力学角度看，生长是能量输入与能量输出的差值。
在教育教学中，杜威曾在《民主主义与教育》中提出：“教育即生长。”他提出“教育即生长”的根本目的在于，将儿童从被动的、被压抑的状态下解放出来。“生长论”要求尊重儿童，使一切教育和教学适合儿童的心理发展水平和兴趣、需要的要求。儿童有4种本能：社交的本能、制造的本能、表现的冲动、探究和发现事物的兴趣或本能。教育要尊重儿童的自然天性，引导儿童独立自主地塑造自我，促使个性的自我实现。可见，儿童的潜能和经验为我们的教育提供了素材，也指出了起点。因此，在教育中提出“生长”，是为了突出儿童的天性；而把“生长”运用到数学上，是为了突出过程与结果的统一，体现生命与数学的统一，佐证获得与发展的统一。
小学数学与日常生活有着紧密的联系。虽然数学具有一定的抽象性和严谨性，但它都来源于生活。教师如果将抽象的数学与具体的生活相对接，可以很好地激发小学生的学习动力和潜能。学生凭借自身的努力和交流就能完成对数学的理解，从而提高他们的思维能力和学习兴趣。建构主义学习观强调：“知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个孩子依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。”生长数学教学秉承了这些认知和理念，强调学生尝试独立学习和互动交流，突出经验继续不断地被改造和重组。在这一过程中，教师只是学生自主学习的推动者和促进者。
教师普遍认为，当新的学习任务出现时，学生的经验会被激活，他们根据自己的经验进行观察、反思，产生认知冲突。通过比较、探究、推理、应用等数学活动，他们会形成更丰富的认识和体验，归纳出新的认识和经验，从而完成对原有经验的改造或重组，使认知结构随着新知的充实而不断调整、扩展。当二次习得的理解、经验与原有的知识建立意义上的对接时，学生就会用某种方式加以组织和内化，转化成便于储存、提取和迁移的新知识结构。其内在关系见图1-1：
我们把“生长”定义为：学生的学力获得长进。具体表现在：个体突破原有水平、形成新的结构、获得多元长进（即在知识、方法、经验、能力、品质等多方面有所长进）。生长数学，立足已有基础，强调学习兴趣，学生在自然状态下根据自己的力量学会思考，从而获得知识、增强学力。
所谓“生长数学”，它是相对“生产数学”而界定的。“生产数学”强调了知识的复制和操练，是一种“照样子做”的数学。而“生长数学”强调了知识的产生和发展，是一种“有道理讲”的数学。因此，生长数学是一种动力和追求，“生长”是形式、是需要，它通过具体活动的抽象、创造来完成数学化、模型化。这不仅符合数学本身发展的规律，也符合儿童认知数学的特点。
生长数学教学
作为一线教师，研究数学的最根本目的，是为了更好地开展数学教学。面对一群充满生命活力和无限潜能的个体，教师应当让每个独立的生命体在数学学习中自我形成丰富的数学意义，这也应该是课堂教学的远大追求。因此，遵循数学的内在原理与规律，遵循儿童学习的认知特点和规律，“用生长的方式”教数学、学数学，是我们多年以来一直倡导并践行的教学过程和方法。
很多时候，低效的数学教学是因为教师被教材束缚了思想和手脚：他们的着眼点和着力点都立足于教材的执行，他们很少关注学生学习的过程，他们以“教材为中心”、以“教师为主体”，他们经历的教学过程有许多乏善可陈的陋习。许多教师仅仅传授学生知识，并不关注学生在问题上的想法，没有显现学生的“个性思考”。只关注预设不注重生成，只关注情境不注重内容，只关注形式不注重实质，只关注知识不注重思维……造成学生知其然而不知其所以然，缺乏知识组块和自觉内化。
这种忽略数学学习中学生生命存在的教师，其自身的职业生涯成长也一直被抑制着。这既不利于学生的持续学习，也不利于教师的专业发展。学生和教师作为独立的生命个体，具有充分的创造性和生长性。因此，数学教学的目标不仅仅局限于传递数学知识或结论，而更应关注学生作为一个社会中的人的发展，特别是学生个性和创造力的发展。让学生亲身经历探索获取的过程，使学生学会提问、学会探索、学会合作，去解决问题，去适应环境。
同时，还应该认识到，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，是数学教学的主导者。数学教学不再是教师单纯地为学生而付出，而应是教师创造性生活的一部分。教师可以在教学实践中提高能力、发展专业，以致改善教学生活、提升生命质量。人的生命历程从教育层面来看就是一个不断成长发展的过程，学生在教师的引领下成长，教师在教书育人的过程中促进自己的再成长。课堂是教学的主阵地，促进师生共同成长是课堂教学的核心价值追求。因此，数学教学的过程是师生双方实现自己生命价值和共同发展的舞台。只有学会学习，才能学会生存；只有敢于创新，才能赢得发展。基于此，生长数学教学具有重要的现实意义，更有现实的价值追求。
一、生长数学教学的价值追求
生长数学教学的价值追求是促进学生学力获得长进。即学生能够立足已有基础，在课堂活动中自由舒展思维，根据自己的力量学会思考，从而获得知识，实现一种内化于心、外化于形的自我超越，增强进一步学习和应用的能力。具体可以表现在学生的知识、方法、经验、能力、品质等多方面获得长进。
数学教学不应该是工业生产，不应该把学生比作是“工业产品”，统一标准、统一要求、批量生产。这样“工业化”教学的危害使学生成了教师思想的俘虏。学生没有个性自由的创见，没有思考对话的平台，没有豁然贯通的快乐。学生的大脑只是被动接受知识灌输的容器，分析问题、自主创新等功能被弱化，大大降低思考力和学习力。
数学教学可以被看成是农业生长，学生可以比作是“苗木”。因为苗木通过享受阳光、水分转化成养料储备在身体里，不断扎根土壤，扩展枝叶。数学教学不就是要培养我们的学生能够自己把知识、经验、方法、体会、品质储存在自己的心智中，为今后的学习和生活提供丰富的储备和有力的支持吗？这就一定要让学生经历学习的过程，实现自我教育，让学生自主生长。教师不可功利地拔苗助长，也不可盲目地遏制其发展，应该想办法让课堂适应学生，尊重知识发展的规律和学生认知的规律，让课堂真正成为“增长知识的沃土、生长智慧的田园”。教师的全部任务是为学生创设一个符合其成长规律的学习环境，支持和帮助学生完成对知识的建构。教师通过激发学生的探究欲，让他们根据自己的经验背景对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义、展示自己的思维、增长自己的学力。
由此可见，教师不仅是“播音器”，学生也不单是“收音机”，教学过程并不只是传递信息的过程。当前我国小学数学课堂教学要从以教师为中心转变为以学生为中心，从单一的传递教科书上的知识，转变为培养能适应社会进步和时代发展所需要的人！学习应该是最生动、最自然的生长活动，它既是人的生活过程，也应该是人的成长过程。要让学生在学习中增强思考和交流、求异和创新的能力，真正能学会思考、学会交流、学会学习。教师的全部任务是为学生创设一个符合成长规律的学习环境，支持和帮助学生完成对知识的建构。我们认为，要实现生长即学力的长进，至少要做到以下4个“自”：
1．自由。自由是生命个体意愿力的生长。因为是平等、民主的师生关系，师生在课堂教学活动中是可以自由想象、自由交流、自由分享的。需要指出的是，这里的自由并不等同于可以随心所欲、天马行空，而主要强调的是思考和对话上可以自由无拘、不循常规。有了这样的课堂文化或课堂氛围，师生都会在轻松、安全的心境中参与教学活动，这有利于互动和生成，有利于思辨和发展。我们的小学数学课堂一定要摒弃沉闷、拘谨、呆板的教学。
2．自主。自主是生命个体内驱力的生长。自主的提出就是确定在我们的数学课堂上需要每一位参与者积极开动脑筋进行思考，没有了积极主动的思考，任何交流和活动都将是低效的。因此，我们要倡导师生独立思考、积极探索、相互质疑、思维碰撞，反对简单的知识传递或模仿操练。
3．自立。自立是生命个体构造力的生长。何为自立？自立就是靠自己的勤奋劳动、努力进取来实现对知识的收获和能力的提升。通过自己的行为参与、认知参与、情感参与来建立起自己的认知结构，并赋予其具有个性化的意义理解。简而言之，学习者不是被动地接受外在信息，不是靠外部力量塑造自己，而在于他本身有所悟、有所得。
4．自创。自创是生命个体突破力的生长。学习者通过透视实践、改造经验、提升自我的能力，从而实现新的突破和创造。他的发现或观点，也许对于成人来说不是新的发现，也许对于其他学习者来说不是最优的办法，但是对于他自己来说一定是一种超越和创新。数学本身就是一门思维深邃、逻辑严谨的科学，因此学生在上数学课尤其是在解决数学问题时，需进行复杂的心智活动，如联想、分析、分类、想象、推理等。每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。对于学生的各种独特的解法，要让他们充分发展，充分享有“再创造”的快乐。
二、生长数学教学的实质内容
生长数学教学是指教师通过激发学生的数学学习兴趣，引导学生根据已有的经验去尝试分析问题，在寻求结果、解决问题的过程中经历知识发生、发展、形成、应用的过程，实现经验的改造或重组，建立合理的认知结构的数学课堂教学形态。
其实质是，学习是“我的建构”，是学生主动寻求和积极构建的过程，是学生自主完成改组经验和扩展结构的过程，是学生经历“混沌、朦胧、积聚、清晰”的过程。这样的教学，学生不仅可以快乐地学到知识，还可以知道知识的来龙去脉，知其所以然，更重要的是学生可以增强思考和迁移的功能。我们的教学是立足已有基础、强调学习兴趣的教学，是注重学生在自然状态下，根据自己的力量去学会思考，从而获得知识、增强学力的过程。这个过程是动态的，是师生共同发展，以实现教学双赢为目标的课堂教学形态。
生长教学强调的是主体能动性，强调思考的过程性和富有个性的建构。在课堂教学中，行为主体在相互作用的过程中，凭借自身的经验，有意或无意地对外在信息进行选择、加工和处理，自发地形成对新信息意义的建构以及对原有经验的重组和改造。
生长教学追求学生的生命成长，试图使一个个鲜活的、灵动的生命个体，在课堂教学的改变中获得全面、均衡的发展。以此为出发点，生长数学教学特别关注课堂中的时空安排，关注课堂教学的动态过程，关注课堂教学中的资源生成与过程生成。要求教师认识到课堂教学中蕴涵着丰富的生命资源，包括学生现有的生存状态、学生之间的差异性、学科自身的教育价值等潜在资源和课堂教学中其他的生成资源。
因此，这里有必要对生长数学教学中的“生长点”和“生长素”这两个概念作一个定义。
1．生长点。在植物学里，生长点是位于植物芽轴的顶端或植物根的顶端，由一个顶生细胞或一团具有很强分化能力的细胞组成，它产生初生组织，由此分化为新的组织，使之不断生长。
在生长数学教学中把“生长点”定义为：它是能够连接课程与学生，并帮助学生冲破“被动式学习”的封闭，引发主动地投入到探究学习活动中的“种子”。它可以是教学内容的关键或关联，也可以是学生学习的经验或冲突，还可以是问题解决的方法或过程等。总之，它具有以下一些特点：①能够紧扣目标本质、贯穿教学始终。②具有挑战性。能激起学生的学习兴趣，吸引学生主动参与数学学习活动，有助于积极思维和交流。③具有良好的发展和生长趋势，能够焕发生命活力，促进动态发展。
2．生长素。生长素（auxin）是一类含有一个不饱和芳香族环和一个乙酸侧链的内源激素。生长素在农业上的运用是促进营养器官的伸长，促进细胞分裂和根的分化，维持植物的顶端优势，促进果实发育。
在生长数学教学中把“生长素”定义为：促进学生思考和理解的内驱因素。比如已有的知识和经验，数学探究的兴趣和求知欲，数学理解的自我教育意识，数学交流的热情和能力等。
美国太平洋橡树学院的约翰·尼莫教授用排除的方式说明生成课程的做法，在很大程度上也适用于生长数学教学。
1．生长数学教学不是“罐头式”的教学。“罐头”是指一份由专家学者或有经验的教师设计的教学方案，其中预先设计好了各种教育活动。设计者们在制作这种教学方案时考虑到了足够的细节，不管老师有什么样的技能技巧与经验，对学生有什么了解，只要打开罐头盖，取出其中的部分内容，就能依照详尽的说明一步一步地实现教学。
2．生长数学教学不是“木乃伊式”的教学。所谓“木乃伊”，指的是那些曾经很有生命力、对学生也很有吸引力的，但现在已失去了生命力、对学生也已没有什么意义的东西。教师常常会把一些曾经有过生命力的、非常成功的活动，总结处理成典型案例后装到“罐头”里，需要的时候再原封不动地拿出来去执行，结果可能发现效果并不理想。为什么？因为学生是变化的，时代也是变化的，以老案例套新情景、新学生，自然不会合适。
3．生长数学教学不是“放羊式”的教学。传统的“放羊”是指一种无序的、没有目的的放纵状态，教学进程随意，教师被学生牵着鼻子走。生长数学教学虽然特别关注学生的兴趣和需要，但是仍然要达到一定的目的。教学的目的既包含教育的社会价值（培养社会所需要的人），也包含教育的个人价值（发展每一个人的潜在能力）。因此，它既要考虑孩子们的兴趣和需要，也必须考虑社会的要求；既要满足学生即时的兴趣和需要，也要促进学生的长远发展。如果教师只是一味地跟着学生跑，强调关注学生当时的兴趣，而没有看到这样做的目的是为了让学生更有效地学习，更健康全面地成长，最终成为社会需要的人。那么，对生长数学教学的理解就只是形式上的，而没有把握住其实质。
所以，生长数学教学是指教师引导学生进行自主尝试、互动交流、抽象内化的一种教学形态。它是教师促进学生进行主动寻求的过程，是学生完成自我改组经验和自我扩展结构的过程。学生根据已有的经验去尝试分析问题，在寻求结果、解决问题的过程中经历知识发生、发展、形成、应用的过程，在交流和应用中实现经验的改造或重组。这样的教学既让孩子经历知识生长的快乐，又满足了孩子寻根溯源的好奇心；既提升了思维生长的品质，还增强了思考对接的力量。
可见，促进生长的关键在于“舒展思维”，生长教学的着力点在于“经历过程”。师生围绕“问题—经验—思维—知识”4个方面展开互动和创造的过程，教皈依于学，学生真正成为课堂的主人，思维真正成为学习的推力。这样，学生就像植物在充分吸收阳光和水分之后带来的“根深叶茂”一样，学习的兴趣和热情被唤醒，学习的动力和潜能被释放。
生长数学教学既不是教育者预先设计好的、在教育过程中不可改变的僵死计划，也不是学生无目的、随意的、自发的活动。它是在师生互动过程中，通过教师对学生的需要和感兴趣的事物的价值判断，教师不断调整活动，以促进学生更加有效学习的课程发展过程，这也是师生共同学习、共同建构、动态发展的过程。
生长教学的最大优点在于它能够调动学生学习的积极性，让学生学得更生动、更有效；它有利于发挥学生的主体性，培养创新人才；它对教师潜能的开发也有促进作用，有利于激发教师的创造能力，并提升其专业化发展水平。生长数学教学的挑战主要来自于实施的困难，因为它对教师全面素质的要求很高。这种素质不仅仅是专业知识和技能，而且包括其他许多方面。比如，我们在教育实践中经常发现，一些很有教育价值的事件（包括学生的问题、反应、表现等）教师常常发现不了，捕捉不到。有时虽然捕捉了、引导了，但限于自身的知识储备，或教学机智，经常觉得没能充分地发挥出活动原本应有的教育功能。这种情况，不是生长数学教学本身的问题，而是教师本身对课堂的生长程度预计不足、对学生的生长预设不够，对教学的生长预测不周所造成的。一旦活动流于形式，生长就会变得不可预料。
生长数学教学需要教师形成如下一些共识。
1．每位学生进入课堂前并非是一张白纸，头脑中已经积累着一定的相关知识和经验，而这些知识、经验正是开展思考和交流的学习基础。
2．每一位学生都存在独特的理解数学的方式，缺少的只是拥有直接参与、用学生自己的理解方式吸纳知识的机会。教师不能忽视学生认识数学、理解数学的独特性而盲目武断地、自以为是地进行传递。实践证明，不被学生理解的教学方式一定是低效的。因此，教师要努力让学生“直接对接”数学学习主题、主观投入学习活动，而并非只是通过别人对数学理解的观点来“间接对接”。
3．学生根据自己的经验背景对外部信息主动地进行选择、加工和处理，从而获得自己的意义，有助于理解知识、培养思维、增长学力。
4．教师的全部任务是为学生创设一个符合生长规律的学习环境，支持和帮助学生完成对知识的建构。
5．学生自己获得的这些知识、经验、方法、情感、品质等都将成为他们的“认知储备”，也叫“生长储备”。一个人拥有供他自由支配的“生长储备”越丰富、越充足，他就会有越多的新观念、新认知产生，有越多的经验和观念去协调以建立更复杂的认知结构，形成积极的学习心理，进一步丰富自己的“生长储备”。
基于以上观点，把学习看作植物的生长，学生就像植物在充分吸收阳光和水分之后带来“欣欣向荣”一样，学习动力和潜能被释放出来，学生在经历知识发生、发展、形成、应用的过程中实现对经验的改造和重组，形成智慧和认知的生长。
教育家斯普朗格说过：“教育的目的并非传授或接纳已有的东西，而是从人的生命深处唤醒他沉睡的自我意识，将人的生命感、创造力、价值感唤醒。”因此，只是让学生被动地接受教师授予的东西，或是过度地进行技能技巧的训练，不仅会加大学生的学业负担，而且无法让学生体会到知识的迁移力与再生力以及相伴而生的兴奋，对数学的理解就会缺乏内驱力。相反，倡导生长教学能改善这样的弊端，因为教师关注的是学生的主体建构、自我激励、学力提升。教师通过实践和探究，总结出小学数学生长教学是一种以已有经验为基础、以解决问题为载体、以尝试探究为途径、以展示思维为抓手、以重组结构为保证的创造性教学模式。
生长数学教学的主要特征
生长数学教学与其他的教学形态相比，有其特殊性。归纳起来，至少有以下几个特征。
（一）真实性
真实性就是指教师与学生在课堂教学活动中，都能展现出自己本真的思维过程和认识态度，不做作、不掩盖。
因此，小学数学生长教学所强调的真实，主要是以学生获得真知，经受思维锻炼的真实，而不是言听计从的真实和机械照搬的真实。教师会自觉尊重知识发展的规律和学生认识发展的规律，学生会自觉地让手、口、眼、脑协同运作，充分调动自己的思维智能，创造性地解决问题，任思想奔流、情感自由。
（二）开放性
开放性是相对于封闭性而提出的。教师在学生面前不再是知识的权威，不再是教材忠实的执行者，而是教材创造性的利用者，学生思维活动的激发者。教师在教学活动中允许和倡导学生质疑，通过师生互动，生成教材中没有展示出来的新的知识。这个过程中学生不是被动地吸收课本上的现成结论，而是一个亲自参与、经历实践、追求创新的过程。为此，教师需要拓展视野、活用教材，弹性设计、多留空白，延迟评价、激励探究，努力去唤醒促进学生主体意识的能动性，认真去引导生命个体积极思维的舒展，从而避免扼杀学生创造性思维的突破与生长。必须坚守“两个凡是”为基本原则：凡是学生自己能说的，教师绝不替代；凡是学生自己能做的，教师绝不暗示。
（三）互动性
互动性指的是教师与学生、学生与学生之间的对话、合作、碰撞，使课堂不在“沉闷”中丧失它本应有的活力和生机。学生在客观上是存在着差异的，不同个性、不同视界的学生，课堂表现和课堂需求是截然不同的。而数学课堂教学过程是在适时变化、动态发展的。因此，推进课堂的有效进程、焕发学生的生命活力，互动是最必需的。只有互动才能充分暴露和激活学生的思维，才能帮助学生发散思维和深刻理解。要使课堂真正“动”起来，教师是主要的发动者和引领者、教师在主观上要努力预设各种可能，在具体教学过程中要敏锐地观察、捕捉各种生成契机，冷静地分析并恰当地处理互动中生成的信息，充分挖掘其中蕴含着的教育价值和意义。
（四）思辨性
数学是一门促进思维生长的科学，是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它具有高度的抽象性和逻辑性。学习数学课程的核心目的是掌握基本的数学知识和技能，同时要发展数学思维能力。思维能力是数学学科能力的核心。数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展数学思维能力。基于以上认识，在小学数学生长教学中，一定要强调思辨。因为只有这样，才能抓住数学学科教学的本质。
数学追求的不是靠死记硬背和机械照搬来解决问题，而是通过观察、分析、判断、推理等过程进行合乎逻辑的思维活动，从而找到解决问题的方法和提升解决问题的效能。这将从根本上提高数学教学的课程价值，有利于培养学生的良好思维习惯，促进学生数学思维能力的发展。
（五）结构性
数学作为一门基础学科，有自身的逻辑线条，有完整的系统结构。而在小学数学的学科体系中，清晰可见它的脉络、条理、层次、架构，它们环环相扣，极致缜密。正因为如此，帮助学生建立一套符合认知发展的知识结构有助于学生存贮和提取信息。所谓结构，就是把各种信息按一定的规律组成整体。教学过程其实应是知识、能力、经验、情感的演化构筑过程，在这个过程中学生会按自己独有的序列在大脑中建立认知结构。教师只有重视新学知识与已有知识的联结，引导形成适合孩子自身的结构体系，才能为他以后的学习和迁移提供相应的帮助。
教育规律时时在告诫我们，教学是为了帮助学生学会思考、学会学习、学会迁移。因此，教学要强调做到系统把握、整体建构、自我完善。而在以往的教学中，通常会忽视这一点，给孩子相应的活动空间和策略指导显得不足。我们不应该等到教师要学生整理的时候才去关注结构，不应该在教师要学生怎样整理的时候才去被动指导，而应该做到在学习过程中，不断激活、不断应用、不断建构、不断完善，促使学生完善和发展认知结构，提高吸收新知的能力和自我生长的能力。
（六）递进性
课堂探究活动不能太多，太多会让学生抓不住学习的主要内容，更何况课堂教学是一种问题解决、知识构建、能力培养的过程，因此课堂教学需要有序推进，呈现梯度的生长。由易到难、由点及面、层层递进，这是我们生长教学中一个很重要的特征。目标要清晰可见，层次要递进分明，教师要把学生放在长远发展的链条上，不断渗透结构思想和递进意识，学生才会明确知识的来龙去脉、掌握其本质的原理和特征。由点连线及面地将数学思想、经验、感受融于结构化认知系统中，这样才能建立自身的知识层次结构，从而增强学习的环比生长能力。
生长数学教学的影响因素
生长是在课堂教学情境中进行的，课堂内的任一因素都有可能成为课堂生长的诱因，使课堂教学呈现一种生命化的动态生长过程。如何在课堂教学中对种种生长因素进行掌控，直接影响着教学的效果和质量。
（一）教师对生长因素的影响
1．教师教育理念的影响。教师不仅向学生传递文化科学知识，而且培养他们的思想与品德，塑造他们的灵魂，使他们兼具远大的理想、高尚的情操、丰富的情感和坚强的意志。
现行教育是以知识经济为背景的，在这一背景下，教育目标由以传授知识为中心转向了以发展人的各种智力、能力为中心。新形势下，教师必须让教育尽可能适应学生，关注不同层次学生学习的状态，特别关注学生的全体性、全面性、个性化的发展。教师的教育功夫应该放在注重人的综合素质和终身学习的培养上，放在促进学生生存和发展的原动力上。在课堂中，引导每一个学生学会做人、学会学习、学会创造、学会生活，这是作为教师应该遵循的永远不变的教育理念。
2．教师思维方式的影响。思维方式就是观察事物、研究问题的方法。现代思维方式的本质特点是独创性、灵活性、开放性。现代教学正需要教师具有这样的思维方式，以促进学生的有效生长。在教学中主要体现在以下几个方面：
（1）解放思想，摆脱陈旧落后的教育观念、方法、经验的束缚，对于前人经验批判地继承，不为已有教学专家的论断、观点所局限，不照搬现成的教学模式，坚持实事求是的思维路线，从学生的实际出发研究教学，在数学教学实践中探索规律，找出内在联系，从而提出自己的见解。
（2）不满现状，勇于否定自己的教学观，勇于否认以往认为“正确”的观念、方法、教学设计、课堂组织等，通过再认识，丰富自己的经验。如在数学教学中深入研究，寻找与众不同的切入点，设计与众不同的教法。
（3）从不同角度，用多种方法解决问题，获得各种各样的答案。能根据所发现的新事物，及时调整、修改原来的想法。考虑问题的整体性和特殊性，个别与全体相结合，问题答案有个体差异，可以各不相同。
（4）创造性思维的特点是多极、开放的，他们能从不同方向、不同角度、不同途径，向外部世界开放，及时与新思想、新知识“沟通”。这种思维方式，既有顺向思维，又有逆向思维；既批判地承认旧习惯、经验和传统，又重视未来的发展，重视我们小学数学教学领域所出现的新的研究成果。
3．学情了解程度的影响。一些教师备课只注重备教材，教材背得滚瓜烂熟，教案写得详详细细，讲课讲得头头是道，但到头来教学效果并不令人满意。这是什么原因呢？其中很重要的原因就是教师“心中有书，目中无人”。只是“带着教材走向学生”，忽略了对教育对象——学生的研究。对于小学生来说，小学数学中的很多知识并不是“新知识”，在某种程度上来说是一种“旧知识”。因为他们在日常生活中免不了与“数”和“形”打交道，就会积累许多数学知识。学生是课堂学习的主人，教师的教是为学生的学服务的，要使课堂上真正有所收获，教师必须尊重学生已有的知识经验，从学生的实际出发设计教学过程。为此，教师在每上一节课前，就必须问问自己：关于这个内容学生已经知道了多少？并想方设法地去了解。正如美国认知心理学家奥斯贝尔所说的：“如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”因此，我们认为，生长教学的课堂既要基于学生，又要超越学生的生长。
4．教师教学设计的影响。在教学中，预设是必要的，因为教学首先是一个有目标、有计划的活动。教师必须在课前对自己的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排，但同时这种预设是有度的、有弹性的、有留白的，只有这样才能给学生创造生长的环境。因为课堂是师生生命体共同成长的场所。
（二）学生对生长因素的影响
长期以来，师本教育体系把学生的经验看作与正规教育无关，甚至有害。它对教育过程的认识是单向式的，认为教育的主要资源是教师和教材、教学设备。而把教师每天所面对的教育对象看成是缺少生命的知识容器，不是当作活生生的人，这样的教育过程并没有从对象的生长和生成规律去设计。实践证明，这完全是与教育对象的认知规律相违背的，以致产生了种种教育弊端。随着改革的深入，为了解决以上问题，提出了生本教育体系。它认为依靠学生进行教育，把教育的全部归结到学生身上，以学生发展为教育本体。其中，它还提倡学生不仅是教育对象，更应当看作是教育资源、能量之库。而且，它不仅是教育的一般性资源，更是基础性资源；其他的资源最终必须同生本资源相结合，才能发挥效益。形象地说，生本教育体系的重要思想就是“借力”，“好风凭借力，送我上青云”，依托学生资源进行教育，可获得事半功倍之效。
如何在生长课堂中开发学生资源呢？教师首先应该了解影响生长资源的学生因素有哪些？
1．学生已有经验的影响。教师需要先行了解了学生的已有认知水平和经验，顺着学生的思路进行教学，扩展了问题的思考空间。
2．学生学习状态的影响。学生的学习状态向来是值得讨论的。学生的学习状态包括学生的学习习惯、兴趣、爱好、态度、情绪状态等，这些都是影响课堂动态生长的重要因素。心理学研究表明，人在良好的情绪状态下，思路开阔，思维敏捷，解决问题迅速；而在心情低沉和抑郁时，则思路阻塞，动作迟钝，毫无创造力可言。
教学活动是在知识和情感两条主线相互作用、相互制约下完成的。积极的情感，可以刺激学生的中枢神经，促进脑细胞的活动，从而使学生从记忆库中涌现出许多现象，激发出多种多样的新意联想，形成强烈追求、积极思考、主动探索的课堂氛围。爱玩好动、爱听故事、爱做游戏、爱看动画是儿童的天性，这一认知特点，每一个教育工作者都知道却不善于利用。在平常的教学工作中，或是基于教学时间的考虑，或是急于传授大量的知识，或是不愿意花大量的时间作课前精心准备，往往忽视了这个小学生的客观认知规律，侧重空洞无味的说教，极大地挫伤了小学生学习数学的积极性。因此，作为小学数学教师要尽可能地组织一些游戏性的活动，“包装”数学知识或创造数学情境，“串联”数学知识，创设活动空间，“做”数学知识，使学生在学中玩，玩中学，做到学得有趣，学得愉快，学得轻松，学得主动，学得深刻。
3．学生思维水平的影响。根据学生思维的时间、方向、速度、深度、广度、新颖度的不同，把学生思维的个性化水平从以下几个方面进行阐述。
（1）思维的广阔性。思维的广阔性是指对一个问题能做出多方面的解释，能用多种形式、多种不同的方法加以解决。学习的风格理论告诉我们，学生当中有触觉学习者、视觉学习者和听觉学习者，有的兼而有之。这决定了不同的学生会采用不同的思维形式。
（2）思维的深刻性。思维的深刻性是指对问题或现象的理解程度，以及在解决问题或阐述对象时具有的思维含量的水平。不同的学生在数学活动中表现出来的深刻性有明显差异。
（3）思维的灵活性。思维的灵活性表现为不过多地受思维定势的影响，能准确地调整思维的方向，善于从旧的模式或传统的思维轨道上跳出来，做到另辟蹊径，曲径通幽。在数学教学中，教师要注重启发学生从多角度思考问题，鼓励联想，提倡一题多解。同时，设计开放性练习，促进学生思维灵活发展，提高他们创造性解决问题的能力。
教师在教学中，不能拘泥于固有的教材，不能局限于学生现有的水平，而应抓住课堂中的亮点、闪光点、生长点，加以扩大、延伸，把学生角度各异的思维方式加以推广。有了这个思维的灵活性，才能推动课堂的灵动和学生的“生长”。
（4）思维的创造性。思维的创造性是指思维活动的创新程度，表现为分析、解决问题时的方式、方法和结果的新颖、独特。善于发现、解决并延伸问题，是创新思维的一种体现。在教学中要提倡标新立异，鼓励学生探究求新，激发学生在头脑中对已有知识进行“再加工”，并加以调整、改组和充实，创造性地寻找独特简捷的解法，提出各种“别出心裁”的方法，这些都能促进学生思维独创性的形成。
（5）思维的批判性。思维的批判性是指对已有的问题的表征或论证敢于向专家提出不同看法，而不是一味地盲从。它有利于生长正确、合理、科学的内容。小学数学思维的批判性，在概括过程中表现为善于精细地估计数学材料，准确选择推理条件；善于从正、反两个方面思考推理过程，并能及时调整和校正。在推理过程中表现为善于从不同角度、正反两个方面去理解概念，区分相近概念；善于区别不同的运算法则、定律、性质及其适用的条件；善于发现并指出理解过程中可能出现的错误倾向，排除错误的干扰。在运算过程中表现为解决数学问题时善于排除无关因素的影响；善于进行辩证地思索与分析，自觉检查思维过程，自我控制和调整思维方向，对解答结果能下意识地做出估计和检验。
4．学生互动能力的影响。学生的互动能力指学生有意愿与教师、其他同学交往的意识，有和其他同学、教师交往的技巧和方法，有与他人合作、分享的行为表现，有互动过程之后的总结吸收能力，等等。它包括学生与文本、学生与教师、学生与学生的互动。学生互动能力是影响学生课堂行为表现的一个很重要的因素，也是影响课堂生长、学生生长的重要因素。
生长数学教学的理论基础
（一）建构主义理论
数学建构主义是在皮亚杰的理论基础上发展起来的，特别关注在数学学习过程中学生主动的心理建构活动，并将此比喻为“在主体的心理上建造一个认识对象的‘建筑物’”。其实质是主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。数学建构主义观认为：“学习并非是学生对于教师所授予的知识的被动接受，而是一个以其已有的知识和经验为基础的主动建构过程。”“满堂灌”的结果只能是一种简单的外部结构的强行嵌入，只会让学生学会模仿、复制，缺少迁移。强调“自主活动”、“智力参与”和“个人体验”。强调新知应是，主体通过内部心理上的思维创造后存入原有认知网络之中。数学知识一般以感知、表象、概念、命题或图示等主要表征存在于人脑之中。因此数学教学的功能在于使学生超越自己的知识，教师通过组织、引导、合作和共同研究，充分发挥学生主动性，“教师应帮助学生搭起建构知识的桥梁”。借助学生已有的知识和经验，创造问题情境，经过学生主体感知、消化、构造，即基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构。
（二）“再创造教学”理论
“再创造教学”理论是由荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔首次提出来的。他认为，数学教学方法的核心是学生的“再创造”，数学教学是一个活动过程，在整个活动过程中，学生应该处于一种积极、创造的状态。学生首先要参与这个活动，感觉到创造的需要，他才有可能进行再创造。而教师的任务就是为学生的发现、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。
在弗赖登塔尔“再创造教学”理论指导下的数学教学活动中，学生本人通过数学活动把要学的知识发现或创造出来，教师的任务就是指导学生去进行这种创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。“再创造教学”意味着学生创造的自由性和教师指导的约束性之间存在着一种微妙的平衡。这里所说的“再创造”与我国著名教育心理学家邵瑞珍教授所提出的“类创造”应该是同一概念。
（三）“最近发展区”理论
20世纪30年代初，维果茨基首先将“最近发展区”这一概念引入儿童心理学的研究，提出“良好的教学应走在发展前面”的著名论断。并指出，教学的着眼点就是要看到儿童的明天，即“判明儿童发展的动力状态”。维果茨基认为，儿童有两种发展水平：一是儿童的现有水平，即由一定的已经完成的发展系统所形成的儿童心理机能的发展水平，如儿童已经完全掌握了某些概念和规则；二是即将达到的发展水平。这两种水平之间的差异，就是“最近发展区”。也就是说，儿童在有指导的情况下，借助成人帮助所能达到的解决问题的水平与独自解决问题所达到的水平之间的差异，实际上是两个邻近发展阶段间的过渡状态。它的提出说明了儿童发展的可能性及其意义在于教育者不应只看到儿童今天已达到的发展水平，还应看到仍处于形成的状态，正在发展的过程。所以，维果茨基强调教学不能只适应发展的现有水平，而应适应“最近发展区”，从而走在发展的前面，最终跨越“最近发展区”而达到新的发展水平。
（四）生命性教学理论
我国的生命性教学研究发端于叶澜教授，其在《教育研究》1997年第9期发表了《让课堂焕发出生命活力》,2003年王鉴老师在《教育理论与实践》上发表的《课堂重构：从“知识课堂”到“生命课堂”》一文中正式提出了“生命课堂”。之后，人们从理论上对生命课堂的含义、特征、构建进行积极探索，倾向于多角度多元化，这些探讨丰富了生命课堂的内涵，为实践提供了有益的借鉴和帮助。“生命化教学追求的是一种充满生命体验与生命关怀，感悟生命意义，富于生命活力的教学境界。”“在生命化教学中，教学过程是生命被激活、被发现、被欣赏、被丰富、被尊重的过程，是生命的自我发展、自我生成、自我超越、自我升华的过程。”教学活动中的教师和学生都是活生生的人，都是具有自身特点的“个体”，教学过程就是这些“生命体”合成和发展的过程。“生命课堂”就是在课堂教学中，不仅仅是为了知识而教学，而是为了人的发展而教学。“生命课堂”突出“活动”，是实现“发展”的源泉和动力，加大了对教育对象的人文素质培养。
生命性教学已成为我国新课程教学改革的一种新教学理念，王立军在《中学数学研究》2008年第2期《数学教育走向生命课堂的策略探微》中提出了数学教育走向生命课堂的基本策略：超越数学“学科本位”；关注学生的情感体验；改善教与学的方式；加强数学思想方法的教学。
生命哲学家认为，生命是一个不断创造、不断更新自我的过程，生命的意义也就在于这种体验性和创造性。正是从生命哲学的角度，课堂教学应改变传统灌输式的教学方式，突出学生的主体性与主动性，关注学生的生命发展。
生长数学教学“三环四自”模式的构建和实施
生长数学教学实践模式主要分为教学准备、教学实施、教学延伸3个阶段，在课堂实施时分为3个环节4个步骤（简称“三环四自”模式）。详见图2-1：
·教学准备阶段：从“带着知识走向学生”变为“带着学生走向知识”。找准生长点——生长课堂的种子，预设适合学生的教学。
·教学实施阶段：从“数学结果的教学”变为“数学过程的教学”。充足生长素——生长课堂的条件，搭建舒展思维的平台。
·教学延伸阶段：从“着眼当前习得”变为“着眼长远发展”。增强生长力——生长课堂的追求，提供应用完善的空间。
如何进行教学准备
一、生长数学教学准备的基本理念
生长数学教学的课堂设计的基本理念是：把教师要教的内容转化为学生想学的内容，从“教学设计”走向“学习设计”。只有这样，才能实现“培养学生的自主学习能力和促进自然发展”这一核心的目标追求。
数学生长教学的设计要做到以下“五个要点”。
（一）目标靶向
目标是生长课堂教学的指向标。要明确学什么、学得怎么样。目标靶向即对特定的学习目标采取的特定行动。根据不同的教学对象，针对特定的教学目标，应该采取相对应的教学方法。教学设计时，一定要在整体教学目标的基础上确立课时教学目标，同时在课时教学目标的基础上明确环节的教学目标，组成目标系统。
（二）问题中心
有了目标，教师可以设计实现这些目标的活动。就是说，设计要实现这些目标，我们应该怎么做。活动是生长课堂教学的骨架，数学设计时应提倡板块式活动设计，每一个板块的活动都有明确的目标，同时具有一定的联系，有层次、有梯度地进行设计。教师需要的是“以问题为中心”的活动设计。著名教育家陶行知先生说“发明千千万，起点在一问”。问题是思维的起点、是思维的心脏，因此在生长数学课堂教学中，要遵循以问题为中心的原则。这里所指的“问题”，并不是普通意义上的问题，而是具有能统帅学科知识、贯穿学习全程，能启发对话与创造、培养方法和能力的矛盾、疑难点。它是学生学习的支架、教师组织教学的抓手、教学目标实现的桥梁。因为学生对数学的思维是在意识到数学问题存在时而启动的，这个启动，即学生探索发现、自主学习、合作交流以及批评性接受的开始。遵循问题中心原则，学生在学习中能够增强问题意识，提高数学学习的兴趣；能学会用数学的眼光观察和分析；能养成良好的数学学习的习惯。
（三）多维互动
多维互动表现为教学过程由单向的“灌输”和“传授”转为多向的“对话”和“互动”。教师、学生与环境之间形成一个真正的“学习共同体”，在“交往”“对话”中产生教学共振，展开情感交流、互动对话、实践创造与资源开发，从而达到动态生成、循序发展，更好地挖掘学生的潜能。因此，在小学数学生长教学设计时，教师要对实现目标的活动中出现的各种可能进行假设，并预设相关的应对。
（四）思维活动
数学是一门逻辑思维极强的学科。著名的数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学思维活动的教学。”而思维活动又是一种复杂的心理过程，是由人们的认识需要引起的。教师对学生在学习中的情感、态度、方法的了解与把握，对思维活动的观察、质疑、探索、猜想的引导，是生长课堂教学的必要条件。在数学教学中，要使学生不断地产生学习意向，引起学生的认识需要，就得创设出一种学习气氛，使学生急于求知，主动思考；就得设置出有关的问题和操作，利用学生旧有的知识经验和认知结构，以造成认知冲突。课堂教学中有了学习气氛和认知冲突，即创设了思维活动情境，学生便有了展开思维的动因、时间和空间。这样的教学设计是有助于提高教学质量，有助于学生拥有持续生长的能力。
（五）生成发展
“生长”具有生成性，同时还具有发展性。既是动态生成，又是循序成长。这是生长课堂追求的基本目标，也是生长课堂必须遵循的生成发展原则。因为儿童是未完成的存在，也是非特定化的存在。“未完成性”意味着儿童的生命处于不停息的变化之中。“非特定化”意味着儿童具有无限发展的可能性，意味着生命是一个历程，是一种有意义的、非确定的过程。儿童的发展永远具有创造性和超越性，永远处在生长之中。在杜威看来，教育的目的就在于促进儿童充分地持续不断地生长，并且这一进程始终是以儿童为中心，依靠儿童本身的努力而推进。
二、生长数学教学准备的操作办法
众所周知，任何一种教学行为的背后不仅有相应的教学理念作支撑，而且有丰富的资源作基础。“理念支配结果，思路决定出路。”在教学准备中哪些操作办法需要老师去认真完成的呢？以下几点至少是值得大家做起来的。
（一）研读教材，系统把握
1．整体联系，全面解读。
2．抓住本质，深入解读。
实践证明，教师只有站在一个较高的层次上去审视和处理教材，抓住教材中知识的本质内涵，才能将蕴含的数学“大思想”落实在课堂中，这就好像为学生插上了隐形的翅膀，使学生在数学的天空中飞得更高。
（二）分析学情，找准起点
1．遵循学生的认知心理，实事求是地分析学情
2．运用科学的调研方法，全面客观地了解学情
3．寻找学生的经验基础，确定学生的差距资源
（三）立足课标，明确目标
（四）比较教法，求实创新
“教学方法是指教师在教学过程中为了完成教学任务所采用的工作方法和教师指导下学生的学习方式。”“每一种教学方法都是教师组织学生的认识活动和实践活动以及确保学生掌握教育内容而进行的一系列有目的的行动。”这个定义说明了教学方法不同于教学工具或教学手段，而是对工具或手段的运用，是一系列有目的的行动。这里需要明确：方法服务内容，教法服务学习。因此，教师应注意比较各种教法。看一看别人在教学时是怎样引导学生探究的，比一比怎样的方式有利于学生思考和发展，想一想到底怎样可以更好地帮助学生进行生长性学习……教师在比较中扬长、在扬长中提升，以适应教学对象的学习需要，帮助每个人的天性和与生俱来的能力得到健康生长。
如何进行教学实施
生长数学教学时，教师要引导学生主动参与、积极思考，而非仅仅是通过感官学习；要引导学生多提出问题、讨论问题和解决问题，自主探索问题的结论，而非一味模仿或机械记忆；要善于将学生引向自己探索发现的道路，而非完全接受教师的知识传授等。只有这样，才能帮助学生舒展思维、舒展个性，帮助学生创造有助于他们生长的条件，促进学生多元发展。
教师可以从课堂文化、学习情境、学习材料、数学活动等维度来帮助学生点燃求知欲望，打开思考枷锁，舒展思维过程。生长数学教学实施的关系见图2-2。
图2-2 生长数学教学实施关系示意图
二、生长数学教学实施的一般模式
在促进学生自主生长的研究实践中，初步归纳了“三环四自”的课堂教学模式，总结了相应的教学策略。“三环”是指“尝试质疑、探究展示、提炼梳理”这3个环节，简称“一试二探三理”。“四自”是指“自主尝试—引发问题、自由互动—萌发生成、自觉应用—理解原理、自我反思—形成关联”四个步骤。环环相扣，层层递进，学生在这样的步骤中实现自我超越、自我建构。“三环四自”的教学模式见图2-3。
三个教学环节中，以这“四自”为教学途径，每一个途径都有相对应的学生活动目标：激活经验——暴露数学现实；满足需要——舒展数学思维；深入本质——理解数学原理；建立逻辑——完善数学结构。同时，也总结了每个步骤要实现各自目标的操作策略。为了能更好地说清楚这个过程和关系，请见图2-4。
“三环四自”生长教学模式，处处以学生为中心，体现学习个体的主体性、学习过程的探究性、知识生成的建构性、学习组织的合作性，帮助或形成学生智慧和认知的生长，不仅可以帮助学生提高学习效率，而且有助于思考力的培养和学习力的增强，这也就是生长教学的主要追求。下面，笔者结合“认识负数”一课的教学，具体介绍“三环四自”的主要内容和操作要领，具体的教学范式和课例将在第四章进行举例详解。
（一）自主尝试，引发问题
（二）自由互动，萌发生成
（三）自觉领悟，解决问题
怎么来帮助学生自觉领悟呢？至少有以下策略。
策略一：加强比较
指的是人脑把一些事物和现象放在一起进行对比的思维过程。著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”数学中有许多内容既有联系又有区别，在学习数学时充分运用比较的方法，可以揭示事物的共性、不同点以及相互联系。这十分有助于学生更深刻地认识旧知识，更容易接受新知识，完成数学内化，发展逻辑思维。
策略二：抽象概括
这是由数学学科的特点所决定的。思维最显著的特征是概括，善于概括是思维深刻性的重要特点，也是数学的重要特点。所谓概括，就是把注意力集中在对研究问题起关键作用的特征上，并善于用恰当的方法表示这种特征，从而方便思考和交流。这是其他学科所无法替代的。在数学课堂上的概括，主要表现在数学符号、数量和空间关系、数学对象和运算等方面的概括。因此，在数学课堂教学中可以引导学生用语言、符号、图形、模型等来概括。
策略三：鼓励质疑
古人云，学起于思，思源于疑。让学生自己提出问题的好处是消除了学生学习的依赖心理，促进学生完成对疑惑知识的排除和准确理解数学本质。心理学家马斯洛认为，每个人与生俱来就有自我实现的创造力。小学生这种特点主要表现在自我探索的愿望和表达观念的冲动。这种好问和冲动往往被教师过度的“组织调控”所阻隔。因此，在教学中应采用不同的措施去激活他们的质疑问难状态，使他们产生学习的动力，深入理解数学的本质。
教师还设计了表2-3，来帮助学生掌握自觉领悟的技巧。
表2-3 自觉领悟的技巧
（四）自发议论，形成关联
如何进行教学延伸
前面讲到过，教学是一个系统，因此延伸是这个系统中必不可少的环节。但需要指出的是，教学延伸绝不等同于课后作业。在生长数学教学中提出的教学延伸到底是什么意思呢？又是如何来做到的呢？
一、生长数学教学延伸的基本理念
生长课堂的教学延伸，目的在于通过一些拓展活动，给学生提供一些应用创新的空间，为学生可持续的生长力提供充足的“生长素”，促进学生数学学习的长足发展。因此，在这一环节中，教师要想办法拓展实践，增强生长力，提供应用完善的空间。
大多数教师容易把作业、纠错作为教学的延伸，比较“着眼当前的习得”。事实上，这样理解是比较片面、不够科学的。这里提出的教学延伸，是对学生知识巩固、能力提升、思维发展、品质形成等多方面的关注，相比较而言，更“着眼长远的发展”。
叶圣陶先生曾说，教材无非是一个例子，我们的教学要让学生课内得法，课外获益。生长数学教学特别注重学生的尝试、运用和创造，因此教学延伸就是一个很好的满足个别生长需求的环节。但需要指出的是，教学延伸不是统一要求，更不是集体操练，而是在培养兴趣和品质的前提下实现目标整合、前延后伸、多元发展。也就是说，这里指的延伸是需要一定的弹性的，并不是“一刀切”；是具有一定的挑战性的，并不是机械操练；是具有一定的目标性的，并不是放任自流。
生长数学教学延伸的基本方法
（一）分层练习，各有所长
（二）综合实践，活学活用
（三）思维拓展，提升素养
以解决问题为载体，师生共建“互动型”数学课堂文化
数学课堂文化是一种共同体的文化，不是个人文化。通过对数学问题的解决，促使学生自主参与课堂文化的构建、发展的全过程，从中体验课堂文化形成的一般规律，并自觉运用课堂文化形成的“游戏规则”来参与数学课堂文化的选择、生成和发展。可见，互动型的数学课堂文化应该是师生同构的、共享的规范文化。
教师以“解决问题”为载体，通过培养学生的提问能力和批判意识、对话能力、倾听习惯，提高学生的数学表达能力、独立思考、相互合作评价的能力，来促使学生参与共同构建“互动型”的课堂文化。
1．培养学生的提问能力，提高数学思考的质量
培养学生的提问能力是构建互动型数学课堂文化的重要环节。学生的提问能力需要科学训练，需要有意识地培养。一次完整的提问训练可以分三步走。
（1）让学生从不同的角度思考问题。“你看到了（做了）什么？你想到了什么？你能提出什么数学问题？”如果学生的思路太窄，教师要帮助学生分析已有问题提问的角度（因为一个角度意味着一片问题），做必要的提示，如“这些问题是从什么角度提出来的？还有另外的角度吗？”
（2）让学生提有价值的数学问题。教师可以问“你认为我们提出的哪些数学问题比较有价值？为什么？”让学生根据自己的价值观进行判断和交流，逐步对有价值的数学问题形成共识。
（3）让学生提出未解决的有价值的数学问题。可以引导分类“这些有价值的问题中哪些我们已经能解决了？哪些还有困难？现在你还想到哪些问题？”这就把要研究的数学问题找出来了。
提问能力的培养要讲究系列化训练，首先要使学生逐步熟悉提问的三个流程，会用这三步进行自问自答：我能提出数学问题吗？我能提出有价值的数学问题吗？我能提出未解决的有价值的数学问题吗？等学生熟练后，教师可以逐步削减训练步骤，直接提出较高的要求，学生也有可能比较快地提出较有质量的数学问题，使得后续的教学能得以较快地展开，提高教学效率。
2．培养学生概括整合的习惯，提高倾听能力
学会倾听是一个老大难问题，从某种意义上来说，倾听习惯的养成能有效地促进数学抽象思维和数学表达能力的提高，反之，则不一定。在数学课堂中，学生的倾听应该表现为“外静内动”，“内动”主要表现为抽象概括。教师通过培养学生的数学概括习惯，可以提高他们的倾听能力。
因此，引导学生学会概括，是培养他们倾听习惯的关键。如一位学生发言后，教师可以问其他学生，“你们听明白他说什么了吗？”如果没有听明白，可以让其他学生说说“哪里没听明白？”，问问自己“我集中注意力听了吗？”如果有学生听明白了，可以让他们说说发言者的意思，并询问发言者“是不是这个意思？”为了训练学生的倾听能力，我们也摸索了“三步法”。
（1）懂了吗？（什么意思？）学生先问自己这个问题，能不能理解发言者的观点，理出其中的核心要素。或者说能不能用自己的话来解释出别人的意思。
（2）对了吗？（认同吗？）当理解了发言者的意思后，再问自己第二个问题，他的观点对不对？这就需要倾听者更深入地分析、判断，以此来提高倾听的质量。
（3）还有吗？（补充什么？）第三个问题是在回答前两个问题后进行的，如果认同别人的发言，可以问自己还有没有不同的方法或情况。如果不认同别人的发言，那应该作怎么样的补充。
用以上的“三步法”来训练学生的倾听能力，在实践中效果还是比较好的，如果能长此以往地坚持，相信学生的倾听能力会有很大的提高。
3．培养学生的批判意识和求异思维，鼓励学生对课本进行质疑和超越教师。
4．培养学生主动表达富有个性化的思考，倡导文化的多元性
如何寻找生长空间
这里说的生长空间是对于学生而言的，是指学生在探究学习的过程中能自主建构和长进的空间。因此，生长空间与学生原有的经验和认识能力有关。同时，它又与教材中的隐性知识有着密切的关联。教师开展生长数学教学，非常有必要注重寻找生长空间。
（一）着眼学生的已有经验
教师着眼于学生的已有经验，帮助学生利用经验，实现经验和新知的有效对接。学生的经验不外乎两条途径：生活经验和学习经验。
1．唤醒生活经验，引发探究问题
2．激活学习经验，形成思考活力
（1）沟通已有知识经验
（2）激活已有方法和策略经验
（3）利用已有活动经验
（二）着眼数学的基本概念
所谓“对数学基本概念的理解”，是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这一概念为核心是否能构建一个“概念网络图”。生长数学教学，应该把基本概念的形成的过程、其内在的实质以及相关联的逻辑序列等作为我们生长的主要内容，因此着眼于数学的基本概念是寻找生长空间的有效抓手。
（三）着眼数学的思想方法
在小学数学中，数学思想方法也有着十分丰富的内容。波里亚曾说过：“重复过两次以上的技巧就是一种方法。”可见对于数学方法没有严格的定义。但是从小学数学的教学来看，所涉及到的数学思想方法大致可以有以下几类。
1．数形结合的思想方法
2．集合的思想方法
3．对应的思想方法
4．函数的思想方法
5．极限的思想方法
6．化归的思想方法
7．归纳的思想方法
8．符号化的思想方法
9．统计的思想方法
（四）着眼数学的探究策略
学习的要义应该是让学生自己去发现它，而不是被动地等待和记忆。那么，教学中如果能着眼于数学的探究策略，那么对于学生来说，其生长的空间又会变大。事实上，数学的发现问题、分析问题、解决问题都是需要一定的策略来支撑的。小学数学的学习中一般有以下一些探究策略。
1．尝试发现策略
由于数学知识一般都具有连续性，所以在面对新的问题时我们可以让学生在已有知识的基础上先尝试练习，在尝试的过程中使学生感知新、旧知识之间的矛盾冲突，从而构成学生认知的内部矛盾。这也是生长数学教学的重要教学策略。
2．观察比较策略
观察和比较是学生认识发现数学问题的重要手段。教学中教师应有目的、有计划地为学生感知问题提供相应的材料，让学生在观察中辨析、思考事物间的关系（特别是相似对象间的不同点和不同对象间的相似点），并在此基础上形成问题意识。
3．联想迁移策略
数学知识和技能都是内在联系着，并总是相互作用、彼此影响的。所以教师应多鼓励学生学会联想迁移：其他的类似现象有没有这样的规律和方法？以前学的类似现象有什么规律和方法，现在的新知识能不能也用同样的方法解决？某原因导致其结果后，会不会又有其他结果？在什么条件下会有，等等。
4．化归策略
这是小学数学自主探究教学中最常用的一种策略。使用这种策略的关键是在准确把握新旧知识关系的基础上，把新知识转化为学生的已有知识，然后根据两者的关系加以分析、重组，使旧知识得到改造、发展，最终“创造”出新知识。
5．归纳策略
这是指从学生已知的具体事实或个别性前提通过猜想验证推断出一般性或普遍性结论的探究方法。
6．比较策略
指从具有同一属性的事物间寻找差异性，或从具有差异属性的事物间寻找同一性的探究方法。这种策略有助于认识两种以上事物之间属性的异同，从而揭示事物的内在本质和规律。
7．假设验证策略
在探究一些初始概念和抽象概念的时候经常要用到假设验证策略。在使用这个策略时，需要学生在分析问题的基础上结合自己已有的知识经验对问题的结论作出假设，然后通过操作实验、合情推理等手段加以检验。
除上述的一些探究策略以外，还有画图制表的策略、列举分析的策略、逆向分析的策略、恒等变形的策略等。数学学习的生长空间，在知识与策略的形成过程中可以被发掘。当学生经历了探究策略的形成、体验、运用等过程后，课堂学习就不仅仅是知识的叠加和传递。
如何开展课堂提问
课堂提问是一种教学手段，更是一种教学艺术。宋代教育家朱熹说过，读书无疑须教有疑，有疑者都要无疑，到这里方是长进。这话是很有道理的。“须教有疑”，提问就是通过巧妙的激疑设问，学生心中产生疑窦，引起积极的思考；而思考，是学习深入的源头，启迪知识的钥匙，沟通智慧之路的桥梁。在生长数学教学的课堂中，我们要不断优化课堂提问的方法、过程、内容、途径、角度，充分发挥提问的有效价值，课堂提问才能真正激起学生的思维，促进自主生长。
（一）优化提问的形式——“趣问”
儿童的心理特点是好奇、好强、好玩、自尊心强。设计提问时，要充分顾及这些特点，以引起他们的兴趣，不要用突然发问来惩罚他们的错误，不要故意用偏题、难题、怪题使他们感到难堪，以至于挫伤他们的积极性和自尊心，这对以后学习是极为不利的。
优化课堂提问策略，首先体现在教师要从教材中选择能引起学生兴趣的热点，构建提问序列，力求提问过程新颖别致，富有新意，使学生喜闻乐答，使学生心理各方面生动活泼地得到和谐发展，激起学生探究的愿望，产生出一种学习需要，形成学习的内驱力，促进自主建构和自然生长。
（二）优化提问的思维价值——“巧问”
“浅”是提问设计的大忌。“有疑而问”本来是天经地义的事，但浅显的提问，往往问而无疑，课堂上学生对答如流，表面上是“互动”得轰轰烈烈，教师不仅不以为忧，反以为喜，实在不应该。当然，太深的问题学生根本无从下手，望而却步，即使是学生想与教师“互动”，但因为太难，也“动”不了，当然也就“长”不了。提问应该做到“巧”，只有“巧”的问题才能真正拓宽学生的思路，引起丰富的联想，学生才能在不知不觉中参与到生长数学的教学中。
（三）优化提问的方式——“曲问”
“直”是直问，直截了当，单刀直入。由于“直问”是按照常规思路正面直接发问，往往难以真正调动学生的积极性，难以真正启动学生思维。“曲”是指问题答案不能浅显直露，而应让学生通过仔细思考后才能发现。著名特级教师钱梦龙说得好：“所谓曲问，是运用迂回战术变换提问的角度，让思路拐一个弯，从问题侧翼寻找思维的切入口；所谓直问，就是一味正面硬攻，不会迂回包抄。曲问多见巧思，易于激发学生求知的欲望；直问则难免显得笨拙，往往造成启而不发的僵局。”
（四）优化提问的切入点——“精问”
“碎”是提问设计的通病。教师设计的提问太多、太杂将导致课堂教学的“外紧内松”，表面上热热闹闹，实际上松松垮垮。“满堂问”其实就是“满堂灌”的另一种翻版，这是表面上的“互动”，形式上的“生长”，会成为学生学习的另一种负担。“精”是指课堂提问要有明确的出发点和针对性，问题精要恰当，避免繁杂琐碎，做到“精益求精”。教师提出的每一个问题不仅本身应该是经得起推敲，同时还得强调组合的最优化——问题与问题之间有联系，有层次，力争使教师设计的各个问题组成一个有机的严密的整体。让学生在解答这些问题时，既理解和掌握知识，又得到严格的思维训练。
（五）优化课堂提问的类型——“活问”
设计课堂提问不可机械死板，类型应灵“活”多样。揭示课题可采用启发性提问；初步感知信息时可采用疏导性提问；深入理解时可采用探究性提问；提炼本质时可采用比较性提问；品尝精华时可采用鉴赏性提问；复习巩固时可采用归类性提问等。同时，还必须注意课堂上师生双方信息交流出现的异常情况，一旦发生更应灵活处置，当场设计一些调控课堂的提问来调整教学活动。对教师的提问，学生回答出现错误是正常现象，教师应迅速准确地判断出学生出错的根源，从而灵活地提出一些针对性强的新问题，从而化解疑难。这在前面一节中已经有所阐述，这里不再重新细说，只是想突出活用提问的类型，有时反客为主，欲答还问，顺着学生的思路，因势利导，使学生在思辨中求得正确的理解，则比直接灌输答案更有价值。
当然，不同的课堂有不同的提问策略，不同的提问有不同的教学效果，教师必须针对每堂课的具体特点，根据自身的实际，采用不同的提问策略。在提问中，还要注意以下几点。
1．提问要明确、清晰。教师要把问题交代清楚，必要时将一些问题口语化，让学生听清楚教师在问什么。
2．提问要适时。提问该作铺垫时就铺垫，该作归纳时就归纳，要把握最佳时机提问，使之能化解难点、深化认识，要在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的愤悱状态时提出相应的问题。另外，如果某些问题的提出生成了一种良好的学习情境或激发了学生的学习兴趣，教师应把握时机，适时地提出相应的问题。
3．提问不宜太多。一堂课如有太多的问题，学生长时间地处于思考再思考中，就会厌倦、消怠，生成信息的质量就会明显下降。要给学生足够的练习、讨论时间，多设计一些问中有练、练中有问的题型，提问与练习两者互相融合。
4．提问的涉及面要广。有些教师的课堂提问往往面向好学生、尖子学生，很少叫中等生，差生更受冷落。这样做教师比较省力，提问也一帆风顺。殊不知，这是违背全面发展与因材施教相结合原则的。提问仅面向几个尖子学生，表面上看起来，难题得到了解决，教学效果很好，实际上则是少数人解决了问题，他们的思维能力得到了发展，而大多数学生则处于被动地位，提不起兴趣，更谈不上思维能力的发展了。课堂提问决不能冷落中差生，而要充分提供他们回答问题的机会。教师可在课堂上设计一些难易适度的问题，对尖子生可合理“提高”，对普通生可逐步“升级”，对后进生可适当“降级”，从而使全体学生都可获取知识营养，满足胃口的需要，使好、中、差学生都有机会参与答问。
