高等代数理论基础71：双线性函数

双线性函数

定义：V是数域P上一个线性空间, $f(\alpha,\beta)$ 是V上一个二元函数,即 $\forall \alpha,\beta\in V$ ,由 $f$ 都唯一对应于P中一个数 $f(\alpha,\beta)$

$\forall \alpha,\alpha_1,\alpha_2,\beta,\beta_1,\beta_2 \in V,k_1,k_2\in P$ ,若 $f(\alpha,\beta)$ 有性质：

1. $f(\alpha,k_1\beta_1+k_2\beta_2)=k_1f(\alpha,\beta_1)+k_2f(\alpha,\beta_2)$

2. $f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta)=k_1f(\alpha_1,\beta)+k_2f(\alpha_2,\beta)$

则称 $f(\alpha,\beta)$ 为V上的一个双线性函数

注：双线性函数在一个变元固定时,是另一个变元的线性函数

例：

1.欧氏空间V的内积是V上双线性函数

2.设 $f_1(\alpha),f_2(\alpha)$ 都是线性空间V上的线性函数,

则 $f(\alpha,\beta)=f_1(\alpha)f_2(\beta),\alpha,\beta\in V$ 是V上的一个双线性函数

3.设 $P^n$ 是数域P上n维列向量构成的线性空间, $X,Y\in P^n$ , $A$ 是P上一个n级方阵,令 $f(X,Y)=X'AY$ ,则 $f(X,Y)$ 是 $P^n$ 上的一个双线性函数

若设 $X'=(x_1,x_2,\cdots,x_n),Y'=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

则 $f(X,Y)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_iy_j$

$f(X,Y)$ 是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 的一般形式

取V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$

设 $\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X$

$\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y$

则 $f(\alpha,\beta)=f(\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\sum\limits_{j=1}^ny_j\varepsilon_j)$

$=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_iy_j$

令 $a_{ij}f(\varepsilon_i,\varepsilon_j),i,j=1,2,\cdots,n$

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

则 $f(\alpha,\beta)$ 成为 $f(X,Y)$

度量矩阵

定义：设 $f(\alpha,\beta)$ 是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是V的一组基,则矩阵

$A=\begin{pmatrix}f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_1,\varepsilon_2)&\cdots&f(\varepsilon_1,\varepsilon_n)\\ f(\varepsilon_2,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_2,\varepsilon_2)&\cdots&f(\varepsilon_2,\varepsilon_n)\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ f(\varepsilon_n,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_n,\varepsilon_2)&\cdots&f(\varepsilon_n,\varepsilon_n)\end{pmatrix}$

称为 $f(\alpha,\beta)$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的度量矩阵

注：取定V的一组基后,每个双线性函数都对应于一个n级矩阵,即这个双线性函数在基下的度量矩阵,度量矩阵被双线性函数及基唯一确定,且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵不同

反之,任给数域P上一个n级矩阵

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

对V中任意向量 $\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X$ ,及 $\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y$

其中 $X'=(x_1,x_2,\cdots,x_n),Y'=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$

用 $f(\alpha,\beta)=X'AY=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_iy_j$ 定义的函数是V上一个双线性函数

易知 $f(\alpha,\beta)$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的度量矩阵即A

故在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间有一个双射

不同基下的双线性函数的度量矩阵

设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 及 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是线性空间V的两组基

$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)C$

$\alpha,\beta$ 是V中两个向量

$\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)X_1$

$\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)Y_1$

则 $X=CX_1,Y=CY_1$

若双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 及 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 下的度量矩阵分别为A,B,则

$f(\alpha,\beta)=X'AY=(CX_1)'A(CY_1)=X_1'(C'AC)Y_1$

又 $f(\alpha,\beta)=X_1'BY_1$

故 $B=C'AC$

注：说明同一双线性函数在不同基下的度量矩阵合同

非退化

定义：设 $f(\alpha,\beta)$ 是线性空间V上一个双线性函数,若 $f(\alpha,\beta)=0$ , $\forall \beta\in V$ ,有 $\alpha=0$ ,则称f非退化

可用度量矩阵判断一个双线性函数是否非退化

设双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的度量矩阵为A,则对 $\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X$ , $\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y$ 有 $f(\alpha,\beta)=X'AY$

若向量 $\alpha$ 满足 $f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta\in V$ ,则 $\forall Y$ ,有 $X'AY=0$

故 $X'A=0$ 而有非零向量 $X'$ 使之成立的充要条件为A退化

故易证双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵

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