闭集
给定一个拓扑空间
，如果
是开集，那么
是闭集。
定理：设是一个拓扑空间，那么下列条件成立：
-
和都是闭集。
- 任意个闭集的交是闭集。
- 有限个闭集的并是闭集。
从该定理可以看出，我们也可以用闭集去定义一个拓扑，然后将开集定义为闭集的补。这两种定义并没有优劣之分，但是大多数情况下我们默认通过开集去定义拓扑。
接下来我们针对子空间定义拓扑。设是一个拓扑空间，
是的一个子拓扑空间，我们说是的闭集，如果是的子集，且
是的开集。我们有如下定理：
定理：设是的一个子拓扑空间，
，则：是的闭集当且仅当是中的一个闭集和的交集。
当然，是子空间的闭集，并不意味着它是的闭集。但是，如果我们有是的闭集的话，那么一定也是的闭集。
闭包与内部
给定一个拓扑空间以及
，那么的内部即为所有被包含的开集的并，记为
；的闭包即为所有包含了的闭集的交，记为
。显然我们有：
对于一个集合，它的闭包在全空间和在不同的子空间中可能不相同。事实上，我们有下面的定理：
定理：设是的一个子空间且，是在中的闭包，则在中的闭包为
。
以上只是给出了闭包的定义。在实际计算中，我们当然很难取遍所有的包含某个子集的所有闭集，因此这启发我们用其它方式去刻画闭包。事实上，我们可以对于每个元素进行判定：
定理：设是拓扑空间的一个子集，
是一个基，那么：
-
任意包含
的开集
与相交。
-
任意包含的基元素
与相交。
如果开集包含，我们称是的一个邻域。则上述定理可以表示为，
当且仅当的所有邻域都和相交。
极限点
如果是一个拓扑空间，且
，我们称是的一个极限点， 如果在
的闭包中；或者说任意的邻域与交于除外的另一点。非正式的说，极限点就是可以被中的点（不包含本身）随意逼近的点。我们记的极限点所组成的集合为
，则有如下定理：
定理：设是拓扑空间的一个子集，那么我们有：
由以上定理可以立即推出，集合是闭集当且仅当包含其所有极限点。
豪斯多夫空间
在学习拓扑学的过程当中，我们经常使用
以及
来进行举例，但是当我们考虑一般的拓扑空间时，在实数轴和实平面上的许多例子可能不适用。例如，实数轴上的任何一个单点集都是闭集，因为其闭包就是本身；但是考虑一个包含三个元素的集合，我们很容易可以定义出一个拓扑，使得其中一个单元素不为闭集（即其补集不为开集）。
我们在一般的拓扑空间中按照如下方式定义收敛：一串点序列
收敛到，如果对于的任意邻域，都存在一个正整数
，使得对于任意
，都有
。在实数轴上，一串序列至多只能收敛到一个实数；但是在一般拓扑空间中却有可能。
在数学家看来，单元素集合不为闭集的拓扑，以及序列收敛到不止一个点的拓扑，不是具有良好性质的拓扑。因此，我们通常会对拓扑空间加上一些限制，使得其大体符合我们的几何直觉。因此我们定义豪斯多夫空间：
定义（豪斯多夫空间）：一个拓扑空间被称为豪斯多夫空间，如果对于任意两个中的点
，分别存在邻域
和
，使得和不相交。
豪斯多夫空间又被称为分离空间，因为任意两个不相等的点都可以被其邻域给分离开。
定理：豪斯多夫空间中的单元素集合都是闭集。
单元素集合为闭集的条件比豪斯多夫条件要弱，我们称之为
公理。在公理下，我们有如下定理：
定理：如果是满足公理的一个拓扑空间，，那么是的极限点当且仅当的任意邻域包含无穷多个中的点。
我们并不十分关注公理，因为很多情况下，公理不足以推导出良好的性质；事实上，我们需要豪斯多夫条件。通过下面的定理我们可以看出。
定理：如果是一个豪斯多夫空间，那么中的一个点序列最多收敛到中的一个点。
如果
收敛到，对于
，我们可以找到不相交的两个邻域和
，因为收敛到，则在之外只有有限多个该序列的点，因此中也至多只有有限多个该序列的点，因此不会收敛到
。我们记收敛收敛到为：
。
定理：任意一个简单序集是一个拥有序拓扑的豪斯多夫空间。两个豪斯多夫空间的积也是一个豪斯多夫空间。一个豪斯多夫空间的子空间也是一个豪斯多夫空间。
