9.12第一次课
（这段需要模型论的知识）zariski拓扑就是域的一阶逻辑语言下可以谈论的最细的拓扑。 要谈论拓扑，先要有能力界定一个开集，模型论地讲，开集首先必须是definable set。而Rn上的标准拓扑其实用到了“≥”，因此Rn上的标准开集在更复杂的语言下才是definable set，本质地涉及到了“代数”所不能谈论的结构。R上本有分析的构造，但把R限制在代数的语言下，我们能描述的开集变少，即Rn上zariski拓扑开集很少。yqz老师说，“(zariski拓扑)它只是差，而不是怪“ ——只是开集少，而并没有多出什么奇怪的开集。
代数几何的理论本体是什么？作为一个理论家，有至少两个视角：
1，我是代数学家，我认为交换环太重要了，我要狠狠的研究，我要系统性的导出交换环相关构造上的所有结构，而SpecA上有拓扑，所以我愉快的把拓扑学最重要最现代的方法——同调论拿来研究我的交换环。
2，我是几何学家，我认为拓扑空间太重要了，我要狠狠的研究，我要系统性的探究哪些数学结构上能存在拓扑，我拿着拓扑空间公理一个个数学对象试下去，群不行，环不行，哦！环的Spec上有拓扑，于是我愉快的开始研究这类用代数对象作为底空间的特殊拓扑空间。
这两种观点将在“代数几何本质上是代数还是几何”这一问题上产生严重分歧。依我看，代数几何的理论能存在，其出发点就是用代数对象——环作为实例，实现了拓扑空间的理论。这就是它，没有必要给他个所谓的本质。从它的本体可以看出，凡涉及拓扑空间性质验证的，全部要落实到交换环理论，因为此理论中环是拓扑空间的具体实现，一个拓扑性质在此空间上对与不对，归根结底就是环的性质决定的。就像问你实数R是不是T2的，你一定要用到R这个特殊实例的性质，而不可能用拓扑空间公理中的抽象性质。这就是为什么交换代数深度的参与到代数几何中，甚至可以称为代数几何的原代码。更一般的，诸如C*代数的K理论，群的上同调，我们总是可以预见，总是有两种观点，“这个理论本质上是xx的还是yy的...” 这些争辩的发生都是自然而容易理解的。
yqz老师讲的非常好，如果仅仅把SpecA视作拓扑空间，那么会发生环A≠B，而SpecA=SpecB，那么我们说Spec(·)这个函子不好。或者说，target范畴不好。我们要进一步给SpecA赋予精细结构，使得函子变好——我们总是不希望损失信息的。（这是类似于函子的提升吗）...
层，作为每点附近任意小邻域内代数信息的打包，横空出世，赋予了SpecA精细结构，改善了Spec函子。一个拓扑空间是有自然的层的，如连续函数层等等。但形如SpecA的拓扑空间，其自然的层要多一个——我们自然地赋予SpecA这个多出来的自然的层构造。（但我还没学怎么去构造这个层，涉及交换代数太多了hhh）
这里还有一个很重要的认识问题，就是我提过的泛化和特化的问题。已经熟悉的同调，奇异同调、Cech同调，都是比较一般性的同调——凡是带有层的拓扑空间就有Cech同调，凡拓扑空间就有奇异同调，这二者都是针对泛化理论的同调。但，我们现在面临什么？我们现在面临一类形如SpecA，其中A是交换环的拓扑空间！！不是任意拓扑空间，也不是任意带有层的拓扑空间。我们的问题进一步特化了，如果仍采用普遍性的原理，固然不会犯错，但拿不到有用的指导性信息。恰如，你去问老师2024年山东高考语文试卷第五题的C选项，老师告诉你：“选择题要选择4个选项中的一个”，或者告诉你“要正确地分析问题”，你会想杀人。因为过于泛化的方法对于具体问题指导性不足。所以，直接从认识问题的方法上，我们就导出——针对SpecA这样一大类特殊的带有层的拓扑空间，必然要有新的同调论出现了！这个同调论一定是和SpecA这个具体形式的拓扑空间绑定的，因而一大波交换代数正在袭来....
