【花书】svm作业

支持向量机 与 LDA

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2.从最优化理论的角度解释为什么存在支撑向量
3.为什么svm核函数不需要知道核函数的具体形式，只要知道内积的表达式
4.自己独立推导svm算法
5.查资料说明svm的优缺点
6.说出lda与pca的区别

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其中标红点为支持向量

H_1 W^TX+b=1 H_2:W^TX+b=-1

iii 线性硬间隔支持向量机

写作 y_i(w^Tx_i+b)≥1 解释:y_i为样本类别\{-1,1\}

对于分类正确的正样本 (w^Tx_i+b)≥1且y_i=1

对于分类正确的负样本 (w^Tx_i+b)≤-1且y_i=-1

iv 当训练集数据满足什么样的要求时存在一个可行的W

能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大。间隔最大化：不仅将正负实例点分开，而且对最难分离的实例点也有足够大的确信度将他们分开

V 推导超平面之间的距离的表达式

（0，0）点到 H_1:W^TX+b=1 距离计算公式
\frac{|w^T*0+b-1|}{||w||}
到 H_1:W^TX+b=-1 距离计算公式
\frac{|w^T*0+b+1|}{||w||}

所以：距离为
\frac{2}{||w||}

vi 写出对应硬间隔支持向量机的优化问题表达式

max \frac{2}{||w||} ==> min \frac{1}{2}||w||^2\\ s.t.y_i(w^Tx_i+b)≥1

vii 对于数据点及其标签，正确的是决策函数是以下

matrix([[ 1.1], [ 1.6], [-1.1]])

matrix([[ 1. ], [ 1.2], [-1. ]]) 正分类最小值为1 负分类最大值为-1，且w^2相加值最小

matrix([[ 0.9], [ 0.8], [-0.9]])

matrix([[ 0.6], [ 1.6], [-1. ]])
\begin{cases} min\frac{1}{2}(w_1^2+w_2^2+w_3^2)\\ w_1+2w_2+3w_3+b≥1\\ 4w_1+w_2+2w_3+b≥1\\ -w_1+2w_2-1w_3+b≥1\\ \end{cases}
解得w=[0.2,0,0.4]

2.从最优化理论的角度解释为什么存在支持向量

KKT条件\begin{cases} \alpha_i≥0 & \\ y_if(x_i)-1 ≥0 & \\ \alpha_i(y_if(x_i)-1 )=0 \end{cases}\\ L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2+\sum_{i=1}^m\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))

最小化L，在KKT条件的约束下，若满组\alpha_i＞0情况下，必然有(y_if(x_i)-1 )=0，不然不能取得最小值，其取值可以取到正无穷，此处的点就是支持向量

3.为什么svm核函数不需要知道核函数的具体形式，只要知道内积的表达式

利用核函数对现在空间进行变换\phi(x)

高斯核函数
K(x,z)=exp(\frac{||x-z||^2}{2\delta^2})\\ 原始空间x，z两个样本的点积变为后面的形式

其对偶问题最后可求解，都是计算点积
f(x)=\sum^m_{i=1}\alpha_iy_i\phi(x)^T\phi(x)+b

4.独立推导SVM算法

5.说出lda与pca的区别

PCA最小重构误差，使得投影后的值与原来的值尽量接近，属于非监督学习

LDA最大化类间距离，使得投影后不同类别样本尽量分开，属于监督学习

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