信息熵

第二章 熵、相对熵与互信息

2.1 熵的定义

离散型随机变量X的熵H(X)的定义为:
H(X) = -\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \log p(x) \tag{2.1}
其中，对数 \log 所用的底是2，熵的单位是比特。

用E表示期望。X的熵又解释为随机变量\log\frac{1}{p(x)}的期望值。

2.2 联合熵和条件熵

联合熵

H(X,Y) = - \sum_{x \in \mathcal{X}}\sum_{y \in \mathcal{Y} }p(x,y)\log p(x,y) \tag{2.2}

条件熵

\begin{aligned} H(Y \mid X) &=\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) H(Y \mid X=x) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(y \mid x) \log p(y \mid x) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}_{y} \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(y \mid x) \\ &=-E \log p(Y \mid X) \end{aligned} \tag{2.3}

链式法则

H(X,Y)=H(X)+H(Y|X) \tag{2.4}

证明:

\begin{aligned} H(X, Y) &=-\sum_{x \in \mathcal{X}}\sum_{{y} \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(x, y) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}}\sum_{\in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(x) p(y \mid x) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}}\sum_{ \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(x)-\sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(y \mid x) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \log p(x)-\sum_{x \in \mathcal{X}}\sum_{y\in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(y \mid x) \\ &=H(X)+H(Y \mid X) \end{aligned}

等价为:
\log p(X,Y) = \log p(X) + \log(Y|X)

推论:
H(X) - H(X|Y) = H(Y)-H(Y|X)

2.3 相对熵与互信息

相对熵: 两个随机分布之间距离的度量

\begin{aligned} D(p \| q) &=\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} \\ &=E_{p} \log \frac{p(X)}{q(X)} \end{aligned}
注意：
一般 D(p\|q)\not =D(q\|p)

互信息:随机变量之间相互依赖程度的度量

I(X;Y) = H(X) - H(X| Y)

\begin{aligned} I(X ; Y)=& \sum_{x \in \mathcal{X}_{y} \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\ =& D(p(x, y) \| p(x) p(y)) \\ =& E_{p(x, y)} \log \frac{p(X, Y)}{p(X) p(Y)} \end{aligned}
注意到:
I(X;X) = H(X) -H(X|X) = H(X)
随机变量与自身的互信息为该随机变量的熵，有时，熵又称为 自信息。

entropy.jpg

2.4链式法则

H(X_1,X_2,\dots,X_n) =\sum_{i=1}^n H(X_i|X_{i-1},\dots,X_1)

条件互信息

I(X;Y|Z) = H(X|Z) - H(X|Y,Z)
I(X_1,X_2,\dots,X_n;Y) =\sum_{i=1}^n I(X_i;Y|X_{i-1},\dots,X_1)

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 人面猴
    序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
    沈念sama阅读 217,734评论 6赞 505
  • 死咒
    序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
    沈念sama阅读 92,931评论 3赞 394
  • 救了他两次的神仙让他今天三更去死
    文/潘晓璐 我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
    开封第一讲书人阅读 164,133评论 0赞 354
  • 道士缉凶录：失踪的卖姜人
    文/不坏的土叔 我叫张陵，是天一观的道长。 经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？ 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 58,532评论 1赞 293
  • 港岛之恋（遗憾婚礼）
    正文 为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
    茶点故事阅读 67,585评论 6赞 392
  • 恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
    文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着，像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上，一...
    开封第一讲书人阅读 51,462评论 1赞 302
  • 城市分裂传说
    那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。 笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播，决...
    沈念sama阅读 40,262评论 3赞 418
  • 双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
    文/苍兰香墨 我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
    开封第一讲书人阅读 39,153评论 0赞 276
  • 万荣杀人案实录
    序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
    沈念sama阅读 45,587评论 1赞 314
  • 护林员之死
    正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 37,792评论 3赞 336
  • 白月光启示录
    正文 我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 39,919评论 1赞 348
  • 活死人
    序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
    沈念sama阅读 35,635评论 5赞 345
  • 日本核电站爆炸内幕
    正文 年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
    茶点故事阅读 41,237评论 3赞 329
  • 男人毒药：我在死后第九天来索命
    文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 31,855评论 0赞 22
  • 一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
    文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 32,983评论 1赞 269
  • 情欲美人皮
    我被黑心中介骗来泰国打工， 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 48,048评论 3赞 370
  • 代替公主和亲
    正文 我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 44,864评论 2赞 354