第六讲 —— 列空间和零空间
1. 子空间回顾
子空间，是向量空间内的一些向量，它们属于母空间，但自身又构成向量空间，子空间是向量空间内的向量空间。
记
中穿过原点的一平面为
，穿过原点的一直线为
，那么
，包含和中所有向量，这个集合是子空间吗？不是。因为加法不封闭，无法满足向量空间的条件。而
只得到零向量，是子空间。如果不是特定直线和平面，推广到任意两子空间的交呢，这是更一般的问题，假设有子空间
和
，
是否为子空间？答案为是。
2. 列空间
有
，其中矩阵
的列空间是
的子空间，记作)
，由所有列的线性组合构成。而这里得到的子空间，它等于整个四维空间吗？不是。把它同线性方程组联系起来，即
是否对任意
，都有解？以及什么样的使方程组有解？不是都有解，因为中有四个方程，却只有三个未知数，即
，而等于零向量时有解，更广泛而准确的说是，当且仅当右侧向量属于的列空间时，
有解。
取矩阵的线性组合，这三例线性无关吗？不是。列一相当于一条直线，列二也保留，它朝另一个方向，但列三处在前两列的平面上，没有任何贡献，是“线性相关”的，因此这里矩阵的列空间可以描述为中的二维子空间。
3. 零空间
矩阵的零空间（Null space）不包含右侧向量，它包含
中所有的解
，这些向量包含三个分量，因此此处零空间是的子空间。对于
矩阵，列空间是
的子空间，零空间是
的子空间。不管矩阵是什么，零空间必然包含0。对于这个特定的零空间，可以记作)
，它包含
，
…
，可用
整体描述。其是一条中的穿过原点的直线。
检验的解构成一个子空间，这里需要证明，对于任意一个解
和另一个解
，它们的和仍然是解，即若
，那么%3D0)
，根据乘法分配率有%3DAv%2BAw%3D0)
，易得，同时%3D12(Av)%3D0)
，加法和数乘都满足。
构造子空间的两种方法：既可以从几个向量，通过线性组合得到子空间，也可以从一个方程组中，通过让满足特定条件来得到子空间。
