导数运算完全练习（练这六道题足够了）

导数的三套法则练习题

求下列函数的导数

例1 $y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

解：先化简——化乘除为加减：

$y=\left(x^{2}+5 x+4\right)\left(x^{2}+5 x+6\right)$

$=\left(x^{2}+5 x\right)^{2}+10\left(x^{2}+5 x\right)+24$

$=x^{4}+10 x^{3}+35 x^{2}+50 x+24$

$\therefore y^{\prime}=4 x^{3}+30 x^{2}+70 x+50$

例 2 $y=\frac{\sin 2 x}{1-\cos 2 x}$

解：先化简

$y=\frac{\sin 2 x}{1-\cos 2 x}=\frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin ^{2} x}=\frac{\cos x}{\sin x}$

$\therefore y^{\prime}=\frac{-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}$

例 3 $y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}(x>1)$

解：取对数

$\ln y=\frac{1}{2}(\ln (x-1)-\ln (x+1))$

两边对x求导，得

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$

$=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$

$\therefore y^{\prime}=\frac{y}{(x-1)(x+1)}$

$=\frac{1}{(x+1) \sqrt{x^{2}-1}}$

例4 $y=\ln |x|(x \neq 0)$

解：变形： $y=\ln |x|=\frac{1}{2} \ln x^{2}$

$\therefore y^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

（也可以分段求导）

例5 $y=\lg \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$

解：用换底法化为自然对数的导数：

$y=\lg \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)=\frac{1}{\ln 10} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$

$\therefore y^{\prime}=\frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\right)$

$=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}} \cdot \ln 10}$

例6 $y=3^{x} e^{x}-2^{x}$

解： $\left(a^{x}\right)^{\prime}=\left(e^{x \ln a}\right)^{\prime}=e^{x \ln a} \cdot \ln a=a^{x} \ln a$

即得：

$\left(3^{x}\right)^{\prime}=3^{x} \ln 3,\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x} \ln 2$

$\therefore y^{\prime}=\left(3^{x} \ln 3\right) e^{x}+3^{x} e^{x}-2^{x} \ln 2$

$=3^{x} e^{x} \ln (3 e)-2^{x} \ln 2$

评注通过以上6个小题，怎样灵活应用求导公式和求导法则？我们总结如下：
1.先化简：化成便于求导的形式；
2.化乘除为加减，导数怕乘除，喜欢加减；
3.巧用求导法则，特别注意复合法则——长尾巴；
4.巧用指数和对数运算，不记公式 $\left(a^{x}\right)^{\prime},\left(\log _{a} x\right)^{\prime}$ 。

建议从今天开始你能结合三套导数运算则^[1]天天把这六道题练习一遍。坚持一段时间，熟悉两套法则。这就算在做“导数运算法则广播操”。

第一套：基本初等函数的导数公式，第二套：导数运算法则，第三套：复合函数求导法则。 ↩

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