堆的概念

堆是一棵顺序存储的完全二叉树。
其中每个结点的关键字都不大于其孩子结点的关键字，这样的堆称为小根堆。
其中每个结点的关键字都不小于其孩子结点的关键字，这样的堆称为大根堆。
举例来说，对于n个元素的序列{R0, R1, ... , Rn}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆：
(1) Ri <= R2i+1 且 Ri <= R2i+2 (小根堆，小顶堆)
(2) Ri >= R2i+1 且 Ri >= R2i+2 (大根堆，大顶堆)
其中i=1,2,…,n/2向下取整;

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
1.假设给定无序序列结构如下：

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级

注意：

请特别特别注意: 初始化大顶堆时 是从最后一个有子节点开始往上调整最大堆。而堆顶元素(最大数)与堆最后一个数交换后，需再次调整成大顶堆，此时是从上往下调整的。

算法分析：

堆排序算法的总体情况

详解：

1.堆排序的时间复杂度，主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程；

初始化建堆过程时间：O(n)
推算：
首先要理解怎么计算这个堆化过程所消耗的时间，可以直接画图去理解；
假设高度为k，则从倒数第二层右边的节点开始，这一层的节点都要执行子节点比较然后交换（如果顺序是对的就不用交换）；倒数第三层呢，则会选择其子节点进行比较和交换，如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了，那么又要选择一支子树进行比较和交换；

那么总的时间计算为：s = 2^( i - 1 ) * ( k - i )；
其中 i 表示第几层，2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素，( k - i) 表示子树上要比较的次数，如果在最差的条件下，就是比较次数后还要交换；因为这个是常数，所以提出来后可以忽略；

即S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3) * 2.....+2*(k-2)+2^0 *(k-1) ===> 因为叶子层不用交换，所以i从 k-1 开始到 1结束。
这个等式求解，我想高中已经会了：等式左右乘上2，然后和原来的等式相减，就变成了：

S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)

除最后一项外，就是一个等比数列了，直接用求和公式：

    S = {  a1[ 1-  (q^n) ] }  / (1-q)；
    S = 2^k -k -1；

又因为k为完全二叉树的深度，所以 (2^k) <= n < (2^k -1 )，总之可以认为：k = logn （实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn ）;
综上所述得到：S = n - longn -1，所以时间复杂度为：O(n)

2.更改堆元素后重建堆时间：O(nlogn)

推算过程：
1、循环 n -1 次，每次都是从根节点往下循环查找，所以每一次时间是 logn，总时间：logn(n-1) = nlogn - logn ；
综上所述：堆排序的时间复杂度为：O(nlogn)

空间复杂度

因为堆排序是就地排序，空间复杂度为常数：O(1）

算法稳定性

堆排序是一种不稳定的排序方法。
因为在堆的调整过程中，关键字进行比较和交换所走的是该结点到叶子结点的一条路径，
因此对于相同的关键字就可能出现排在后面的关键字被交换到前面来的情况。

引自：
1.作者： dreamcatcher-cx
出处： http://www.cnblogs.com/chengxiao/
2.出处：https://www.cnblogs.com/jingmoxukong/p/4303826.html
3.出处：http://blog.csdn.net/yuzhihui_no1/article/details/44258297