SVD奇异值分解(2)定义与例子

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1.奇异值分解
定理:
A\in C^{m\times n}_{r}(r>0),则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得
U^{H}AV=\begin{bmatrix} \sum & O \\ O & O \\ \end{bmatrix} (1)
其中\sum=diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{r}),而\sigma_{i}(i=1,2,...,r),为A的非零奇异值,则可以将(1)改写成(改写方法只利用了U、H是酉矩阵,所以共轭转置等于逆):
A=U\begin{bmatrix} \sum & O \\ O& O\\ \end{bmatrix}V^{H}(2)
(2)式被称为奇异值分解。
这里C的上标是mxn这说明奇异值分解可以不局限于方阵,这也是奇异值分解相对于其他矩阵分解的优越性所在。

2.奇异值分解的证明
学习更重要的是学习方法论,况且这么酷的定理不证一下感觉对不起先贤,如果不愿意看证明可以直接跳过看下面的例子,注意这里我是ipad手写的证明。


证明1
证明2
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