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# 定义向量从字面上理解包含方向和长度（模），是一种描述位移的载体。向量没有具体的位置，所以对向量做平移操作是无损的。长度为0的向量叫做零向量。与向量v方向相反的向量叫做v的负向量（将原向量乘以-1就能得到负向量）。 垂直平面a的向量叫做平面a的法向量。
# 向量标准化（归一化）长度为1的向量叫做单位向量，又称标准化向量，单位向量只关心方向而不关系长度，所以我们常用单位向量来表示方向。 a.向量模

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b.标准化

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# 向量数乘[图片上传失败...(image-e730e0-1666363762939)]

向量与标量相乘表示向量伸缩，其结果还是一个向量。

向量与标量相乘的优先级高于向量的加法和减法，这点类似标量之间的乘除法。

# 向量加法与减法

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向量的加法满足三角形法则，平移使得向量首尾相接，最终的向量从第一个向量的头部开始指向最后一个向量的尾部。向量相减得到向量朝向可理解为减号改变了向量原始向量的方向，比如 a-b，b改变了方向，所以得到向量d是从b指向a。

• 向量不能与标量或维数不同的向量相加减

• 向量加法满足交换律（a + b = b + a）

• 向量减法不满足交换律（a - b ≠ b - a，a≠b）

# 向量点乘（点积、内积）

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代数上表示两个向量对应分量相乘的值的累加，其结果是一个标量。（两个点乘向量的维数必须相同）向量点乘在加减法之前计算向量点乘满足交换律 a · b = b · a向量点乘满足结合律 k(a · b) = ka · b = a · kb

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几何上表示b在a上的投影长度与a数乘后所得新向量的模，我们可以做如下运用：1、求两个向量的夹角

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入射光与法线夹角 |

2、求一个向量在另一个向量上的投影

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b在a上的投影c，根据向量的两个基本要素方向和长度，我们做出如下分解：

| c的方向
| c的长度 | c的表达式
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b = c + d，由此我们可以将b拆分为c和d，其中c平行于a，d垂直于a。3、点积与两个向量在方向上的相似程度成正比，两个向量的夹角越小所得点积越大表示方向越相似。

| a · b | 夹角 θ | 现象 |
| > 0 | 0° ≤ θ ＜ 90° | 方向基本相似 |
| = 0 | θ = 90° | 垂直 |
| < 0 | 90° < θ ≤ 180° | 方向基本相反 |

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我们经常用点积来判断向量的朝向

• 夹角位于虚线上方的向量与a的方向基本一致，可认为是朝前的向量；
• 夹角落于虚线上的向量与a垂直；
• 夹角位于虚线下方的向量与a的方向基本相反，可认为是朝后的向量；

# 向量叉乘（叉积、外积）

【叉乘代数运算】

叉乘在加减法之前计算，当叉乘和点乘一起运算时，叉乘优先计算。

a · b x c = a · (b x c)

叉乘不满足交换（满足反交换律）

a x b ≠ b x a，a x b = -(b x a)

叉乘不满足结合律

(a x b) x c ≠ a x (b x c)

【叉乘几何解释】

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量，即垂直于原来两个向量的平面。

垂直的的方向有两个c和-c，我们可以用右手螺旋定则来判断垂直的方向。首先五指伸直，如果a x b则除大拇指外的其他手指从a旋转到b，此时大拇指所朝的方向就是叉乘向量的方向。如果是b x a我们就需要把手倒过来演示。

利用叉乘的规律，可做如下应用：

1、利用叉乘来判断是左手坐标系还是右手坐标系，x x y = z 则是右手坐标系，x x y = -z则是左手坐标系。

2、利用叉乘判断左右

a x b = c，b x a = d（注意这是右手坐标系，如果是左手坐标系则恰好相反）

我们可以通过 a x b 所得向量的z分量来判断左右关系

| b在a左侧 | b在a右侧 | b平行于a
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| z > 0 | z < 0 | z = 0 |

3、利用叉乘判断内与外

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要判断一点是否处于三角形内部，我们只需要判断这一点分别处于三条边的左侧或右侧即可。

我们还是以右手坐标系为例

AB x AD 得到 z > 0，故AD在AB左侧；

BC x BD 得到 z > 0，故BD在BC左侧；CA x CD 得到 z > 0，故CD在CA左侧； 所以点D处于三角形内部。注意我们这个三角形是ABC逆时针相连，如果改成ACB顺时针相连则判断D在三条边向量的右侧即可。