---谈“分数乘整数”与“一个数乘分数”知识的编排体系
人教版六年级数学上册《分数乘法》单元中的例1和例2，对应的教学内容分别是“分数乘整数”和“一个数乘分数”。两个例题之间有怎样的编排关系呢？
例1是利用整数乘法的意义引入分数乘整数的意义，使学生理解分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数和的简便运算，然后借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究算法。
例2是让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出乘法算式，结合具体情境，理解一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。
这两个例题之间有什么关系呢？许多教师根据《教师教学用书》认为这两个例题是将分数乘整数的意义和一个数乘分数的意义进行统一，都纳入到学生原有的乘法意义的认知体系中。教材中，例1明确给出了两种列式方法：和，例2根据数量关系也列出两个含有分数的算式：和，这样两个例题在计算方法上也是相同的。鉴于此，多数教师认为例2 的编排只是对例1的变式和拓展，在教学时，先引导学生在对一个数乘分数的意义进行归纳总结后，然后简单地对例1和例2进行了意义和算法上沟通联系，就认为完事大吉，圆满收场了。
当然，这样的处理似乎无可厚非，但在笔者看来却有些过于简单了，知识处理肤浅，教学陷入表层化。
在笔者看来，例1和例2虽然在分数乘法意义和计算方法上相同，但两道题出现的分数却有本质不同。数学教学不能只见树木不见森林，要从整体上把握。《分数乘法》单元知识的教学，掌握分数乘法有关的计算方法只是其中教学目标之一，更重要的则是利用分数乘法知识解决实际问题。学生要想顺利地在教学情境中解决问题，就离不开对数量关系的正确理解，离不开对具体语境中分数意义的正确把握。因此，对具体情境中分数意义的正确理解是能否解决分数乘法问题的关键。
分数是一个复杂的概念，其意义非常丰富。张奠宙教授认为分数的意义有如下四种：
定义1（分数定义）：分数是把一个单位平均分成若干份，取其中的一份或几份。
定义2（商定义）：分数是两个整数相除的商。其中除数不为0.
定义3（比定义）：分数是q和p之比。其中p≠0。
定义3（公理化）：有序的整数对（p,q），其中p≠0。
我们小学阶段的学习主要涉及前三种定义，在这三种定义里，前两种定义与分数产生有关，是在度量、分物、计算时，不能得到整数的结果就要用分数来表示。在这些情境中产生的分数是一种有大小的数，是对自然数的补充，一般用来度量小于1的量。简单地说，在这些分数后面可以带上单位名称来表示具体的数量。定义3则涉及分数的本质含义：部分和整体的关系，也可以说是是两个数量之间的倍数关系。
厘清了分数的定义，我们再来比较教材中的例1和例2出现的分数。例1中出现的分数“”以及例1下面“做一做”第2题中的分数“”，都表示具体大小，属于分数的“量”的定义；而例2中出现的两个分数“”和“”以及例2下面“做一做”中出现的“”，都是表示部分占整体的几分之几，这就是分数“率”的定义。
分数“量”的定义着重在部分本身的大小，是分数的几何模型，形象具体，贴近学生生活，易于理解；“率”的定义重在部分在整体中所占比率的大小，是分数的算术模型，是纯粹的数量问题，抽象难懂，理解相对困难。数学是研究数量关系和空间形式的科学，这种部分占整体的几分之几的“率”的问题才是分数单元最核心的本质所在，因此例2的教学不容忽视。
在实际教学中，教师不妨在引导学生得出一个数乘分数的意义后，给予学生充分的时间去比较例1和例2的联系和不同。这样，激活学生思维，有利于沟通分数乘法意义和计算方法上联系，又能促使学生深度思考，启发学生对两道例题中分数意义的不同进行辨析，揭示知识本质，提升教学厚度和学生认知高度，实现深度学习。
总之，教师在教学中要善于挖掘教材，把握知识本质，理清知识结构，使学生在数学知识的学习中建构起合理的知识结构。
参考文献：
【1】张奠宙，等，小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2008:78.
【2】张奠宙，等，小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018:123.
