《九章算术》卷三 衰(cuī)分术——按比例分配算法

       按比例分配的内容分布在苏教版六年级上册第三单元。它主要用来解决生活实际中一些不均匀分配的问题。因此,平均分可以看成按1:1的比例分配的特例。

       在古代,这种按比例分配的算法叫做衰(cuī)分术。原著如下:“各置列衰,副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。不满法者,以法命之。

       这是什么意思呢?我们以一道古题目来理解。

       现有大夫,不更,簪褭,上造,公士一共五个不同爵位的官员,共猎得5只鹿,要按爵次高低分配。问各得多少鹿呢?    

       我们现在按照衰分术的运算法则演算。

(1)各置列衰(依次列出爵数,作为各自的分配比率)大夫 5,不更 4,簪褭 3,上造 2,公士 1。

(2)副并为法(以“副并”作除数)副并=1+2+3+4+5=15,以15作除数。 

(3)以所分乘未并者各自为实(用5乘以“未并者”各自作被除数):即作被除数公士为1×5,上造为2×5,簪褭为3×5,不更为4×5,大夫 为5×5。

(4)实如法而一:除数除以被除数为各自所得的鹿数,即得结果。

衰(cuī)分术解题过程

  从解答过程可以看出,古人习惯把按比例分配的问题转化为“一个数的几分之一是多少”来解决,对比的处理方式是转化成“分数”,着重于理解分量=总量×分量占总量的几分之几”的结构关系上面。小学阶段还可以用另一种解法。如下图。

今解

  不难看出,这里的比被转化为“份数”,先算出每份的量,然后再用“分量=每份的量×分量的份数”的结构关系上。两者的相同点都是知道“总量”“分配比例”,求“分量”,都需要计算出总份数。最大的不同就是:解决这类问题,我们有两个思路。

思路一:根据比找到总份数,看每个部分各占几份,是总量的几分之几,按各占总量的几分之几用乘法求解;

思路二:根据比找到总份数,用除法求出每一份的量是多少,按各有几份用乘法求解。

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