IMC高代部分

1994

问题一

a) $A$ 是一个 $n\times n,n\geq 2$ 对称可逆的矩阵，元素均为正。证明 $z_n\leq n^2-2n$ 其中 $z_n$ 是 $A^{-1}$ 中零元素的个数。
b)在如下 $n\times n$ 矩阵中有多少个零元素？ $A=\left( \begin{array}{cccccc}{1} & {1} & {1} & {1} & {\ldots} & {1} \\ {1} & {2} & {2} & {2} & {\ldots} & {2} \\ {1} & {2} & {1} & {1} & {\ldots} & {1} \\ {1} & {2} & {1} & {2} & {\ldots} & {2} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} \\ {1} & {2} & {1} & {2} & {\ldots} & {\ldots}\end{array}\right)$

问题四

令 $A$ 是一个 $n\times n$ 的对角矩阵，其特征多项式为 $\left(x-c_{1}\right)^{d_{1}}\left(x-c_{2}\right)^{d_{2}} \ldots\left(x-c_{k}\right)^{d_{k}}$ 其中 $c_1,c_2,\ldots,c_k$ 都是互异的(意味着 $c_i$ 在对角线上出现 $d_i$ 次，且 $d_1+d_2+\ldots+d_k=n$ )令 $V$ 为所有矩阵 $B$ 组成的空间，其中 $B$ 为 $n\times n$ 的矩阵，且 $AB=BA$ 。证明 $V$ 的维数是 $d_1^2+d_2^2+\ldots+d_k^2$

1995

问题1

令 $X$ 是一个非奇异矩阵，列向量分别为 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 。令 $Y$ 是一个列向量为 $X_2,X_3,\ldots,X_n,0$ 的矩阵。证明矩阵 $A=YX^{-1}$ 和 $B=X^{-1}Y$ 有秩 $n-1$ 且只有零作为特征值。

问题5

令 $A$ 和 $B$ 是实 $n\times n$ 的矩阵。假设存在 $n+1$ 个不同的实数 $t_1,t_2,\ldots,t_{n+1}$ 使得矩阵 $C_{i}=A+t_{i} B, \quad i=1,2, \dots, n+1$ 是幂零的(即 $C_i^n=0$ )
证明 $A$ 和 $B$ 都是幂零的。

第二天的问题一

令 $A$ 是 $3\times 3$ 的实矩阵使得向量 $Au$ 和 $u$ 对于每一个列向量 $u\in\mathbb{R^3}$ 来说是正交的。证明：
a) $A^T=-A$ 其中 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置
b)存在向量 $v\in\mathbb{R^3}$ 使得 $Au=v\times u$ 对于每一个 $u\in\mathbb{R^3}$ 其中 $v\times u$ 表示 $\mathbb{R^3}$ 中向量的外积

1996

问题一

对于 $j=0,\ldots,n,a_j=a_0+jd$ 其中 $a_0,d$ 都是固定的实数。令 $A=\left( \begin{array}{ccccc}{a_{0}} & {a_{1}} & {a_{2}} & {\dots} & {a_{n}} \\ {a_{1}} & {a_{0}} & {a_{1}} & {\dots} & {a_{n-1}} \\ {a_{2}} & {a_{1}} & {a_{0}} & {\dots} & {a_{n-2}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n}} & {a_{n-1}} & {a_{n-2}} & {\dots} & {a_{0}}\end{array}\right)$ 计算 $det(A)$ 其中 $det(A)$ 表示 $A$ 的行列式。

问题三

线性算子 $A$ 在向量空间 $V$ 被称为对合，如果 $A^2=E$ 其中 $E$ 是 $V$ 上的单位算子。令 $dim V=n<\infty$
(i)证明对于每一个在 $V$ 上的对合矩阵 $A$ 都存在一组 $V$ 的基组成了 $A$ 的特征向量。
(ii)求在 $V$ 上可两两交换对合矩阵的最大数目。

1997

问题三

令 $A$ 和 $B$ 是实 $n\times n$ 的矩阵使得 $A^2+B^2=AB$ .证明如果 $BA-AB$ 是可逆矩阵，那么 $n$ 能被3整除。

第二天，问题二

令 $M$ 是一个可逆矩阵，维度为 $2n\times 2n$ ，分块表示为 $M=\left[ \begin{array}{ll}{A} & {B} \\ {C} & {D}\end{array}\right]$ 和 $M^{-1}=\left[ \begin{array}{ll}{E} & {F} \\ {G} & {H}\end{array}\right]$ 证明 $\operatorname{det} M . \operatorname{det} H=\operatorname{det} A$

问题四

a)令映射 $f : M_{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 从空间 $M_{n}=\mathbb{R}^{n^{2}}$ ， $n\times n$ 实矩阵线性映射到实数，即：
(1) $f(A+B)=f(A)+f(B), \quad f(c A)=c f(A)$
对任意 $A, B \in M_{n}, c \in \mathbb{R}$ 。证明存在一个唯一的矩阵 $C\in M_n$ 使得 $f(A)=tr(AC)$ 对于任意 $A\in M_n$ （如果 $A=\left\{a_{i j}\right\}_{i, j=1}^{n}$ 那么 $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ ）
b)假设在(1)的基础上再加上
(2) $f(A . B)=f(B . A)$ 对于任意 $A,B\in M_n$ 证明存在 $\lambda\in\mathbb{R}$ 使得 $f(A)=\lambda.tr(A)$

1998

问题一

令 $V$ 是一个十维的实向量空间，且 $U_1$ 和 $U_2$ 是两个线性子空间，使得 $U_1\subset U_2,dim_{\mathbb{R}}U_1=3$ 且 $dim_{\mathbb{R}}U_2=6$ 。令 $\varepsilon$ 是所有线性映射 $T:V\longrightarrow V$ 其有 $U_1$ 和 $U_2$ 作为不变子空间(即 $T(U_1)\subseteq U_1$ 且 $T(U_2)\subseteq U_2$ )。计算 $\varepsilon$ 在实向量空间中的维度。

第二天问题一

令 $V$ 是一个实向量空间，令 $f,f_1,f_2,\ldots,f_k$ 是线性映射，从 $V$ 映射到 $\mathbb{R}$ 。假设 $f(x)=0$ ，只要 $f_1(x)=f_2(x)=\ldots=f_k(x)=0$ 。证明 $f$ 是 $f_1,f_2,\ldots,f_k$ 的一个线性组合。

1999

问题一

a)证明对于任意 $m\in\mathbb{N}$ 存在一个实 $m\times m$ 的矩阵 $A$ 使得 $A^3=A+I$ ，其中 $I$ 是 $m\times m$ 的单位矩阵。
b)证明对于每一个实 $m\times m$ 的矩阵满足 $A^3=A+I$ 有 $det A>0$

2000

问题二

令 $p(x)=x^5+x$ 和 $q(x)=x^5+x^2$ 。求所有的 $(w,z)$ 对， $w$ 和 $z$ 都是复数，且 $w\not= z$ 且 $p(w)=p(z)$ 和 $q(w)=q(z)$

问题三

$A$ 和 $B$ 是相同大小的复方阵，且 $\operatorname{rank}(A B-B A)=1$ 证明 $(A B-B A)^{2}=0$

第二天问题六

对于一个 $m\times m$ 的实矩阵 $A,e^A$ 被定义为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^{n}$ (这个和对所有的矩阵都收敛)。证明或证否，对于所有的实多项式 $p$ 和 $m\times m$ 的实矩阵 $A$ 和 $B,p(e^{AB})$ 是幂零的当且仅当 $p(e^{BA})$ 是幂零的。( $A$ 矩阵是幂零的是指对于某些正整数 $k$ 有 $A^k=0$ )

2001

问题一

令 $n$ 为一个正整数。考虑一个 $n\times n$ 的矩阵，有着元素 $1,2,\ldots,n^2$ 从左上开始，每一行从左往右排。我们选择 $n$ 个矩阵的元素，使得在每行每列被选到一个元素。被选元素的可能和是多少？

问题五

令 $A$ 是一个 $n\times n$ 的复矩阵使得 $A\not=\lambda I$ 对于所有 $\lambda\in \mathbb{C}$ 。证明 $A$ 相似于一个最多在主对角上有一个非零元素的矩阵。

第二天问题一

令 $r,s\geq 1$ 是实数，且 $a_0,a_1,\ldots,a_{r-1},b_0,b_1,\ldots,b_{s-1}$ 是非负实数使得 $\begin{array}{c}{\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{r-1} x^{r-1}+x^{r}\right)\left(b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{s-1} x^{s-1}+x^{s}\right)=} \\ {1+x+x^{2}+\ldots+x^{r+s-1}+x^{r+s}}\end{array}$ 证明每个 $a_i$ 和 $b_j$ 等于0或1.

2002

第二天问题一

计算 $n\times n$ 的矩阵 $A=[a_{ij}]$ 的行列式 $a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}{(-1)^{|i-j|},} & {\text { if } i \neq j} \\ {2,} & {\text { if } i=j}\end{array}\right.$

2003

问题三

令 $A$ 是一个 $n\times n$ 的实矩阵使得 $3A^3=A^2+A+I$ ( $I$ 是一个单位矩阵)。证明序列 $A^k$ 收敛到一个幂等矩阵。(一个矩阵 $B$ 被称为幂等当 $B^2=B$ )

第二天问题一

令 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 的实矩阵，使得 $AB+A+B=0$ 证明 $AB=BA$

2004

问题二

令 $P(x)=x^2-1$ 。如下方程有多少不同的实数解 $\underbrace{P(P(\ldots(P}_{2004}(x)) \ldots))=0 ?$

第二天问题一

令 $A$ 是一个实矩阵 $4\times 2$ ， $B$ 是一个 $2\times 4$ 的矩阵使得 $A B=\left( \begin{array}{cccc}{1} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} \\ {-1} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} & {1}\end{array}\right)$ 求 $BA$

问题四

对 $n\geq 1$ 令 $M$ 是一个 $n\times n$ 的复矩阵，有着不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 重数分别为 $m_1,m_2,\ldots,m_k$ 。考虑线性算子 $L_M$ 由 $L_M(X)=MX+XM^T$ 定义，对任意 $n\times n$ 复矩阵 $X$ 。求其特征值和重数。

问题六

对 $n\geq 0$ 定义矩阵 $A_n$ 和 $B_n$ 如下： $A_0=B_0=(1)$ 对所有的 $n>0$ 有 $A_{n}=\left( \begin{array}{ll}{A_{n-1}} & {A_{n-1}} \\ {A_{n-1}} & {B_{n-1}}\end{array}\right)$ 和 $B_{n}=\left( \begin{array}{cc}{A_{n-1}} & {A_{n-1}} \\ {A_{n-1}} & {0}\end{array}\right)$ 记矩阵 $M$ 的所有元素的和为 $S(M)$ 。证明 $S\left(A_{n}^{k-1}\right)=S\left(A_{k}^{n-1}\right)$ 对于所有的 $n,k\geq 1$ 成立。

2005

问题一

令 $A$ 为 $n\times n$ 的矩阵，第 $(i,j)$ 个元素是 $i+j$ 对于所有的 $i,j=1,2,\ldots,n$ 问 $A$ 的秩是多少？

第二天问题三

在线性空间的所有 $n\times n$ 的实矩阵中求线性空间 $V$ 的可能的最大的位数使得 $\forall X, Y \in V \quad \operatorname{trace}(X Y)=0$

问题三

证明如果 $p$ 和 $q$ 是有理数，且 $r=p+q\sqrt{7}$ ，那么存在一个矩阵 $\left( \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right) \neq \pm \left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)$ 有着整元素，且 $ad-bc=1$ 使得 $\frac{a r+b}{c r+d}=r$

2006

问题二

求正整数 $x$ 满足下面两个条件：
1. $x<10^{2006}$
2. $x^2-x$ 被 $10^{2006}$ 整除

问题三

令 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵有着整元素，且 $b_1,\ldots,b_k$ 是整数，满足 $det A=b_1\cdot \ldots\cdot b_k$ 。证明存在 $n\times n$ 矩阵 $B_1,\ldots,B_k$ 有着整元素使得 $A=B_1\cdot\ldots\cdot B_k$ 且 $det B_i=b_i$ 对所有的 $i=1,\ldots,k$

第二天问题四

令 $v_0$ 是 $\mathbb{R^n}$ 的零向量，令 $v_1,v_2,\ldots,v_{n+1}\in\mathbb{R^n}$ 使得欧几里得模 $|v_i-v_j|$ 对所有的 $0\leq i,j\leq n+1$ 是有理数。证明 $v_1,\ldots,v_{n+1}$ 在有理数域上线性无关。

问题五

证明存在无限多个正的互素的数对 $(m,n)$ 使得方程 $(x+m)^{3}=n x$ 有着三个互异的整数根。

问题六

令 $A_{i}, B_{i}, S_{i}(i=1,2,3)$ 为可逆的 $2\times 2$ 实矩阵，使得
(1)不是所有的 $A_i$ 有一个公共的实特征值
(2) $A_i=S_i^{-1}B_iS_i$ 对一切 $i=1,2,3$
(3) $A_{1} A_{2} A_{3}=B_{1} B_{2} B_{3}=\left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)$
证明，存在可逆的 $2\times 2$ 实矩阵 $S$ 使得 $A_i=S^{-1}B_iS$ 对所有的 $i=1,2,3$

2007

问题一

令 $f$ 为一个二阶整系数的多项式。假设 $f(k)$ 对每一个整数 $k$ 都能被5整除。证明 $f$ 全部系数都能被5整除。

问题三

称多项式 $P(x_1,\ldots,x_k)$ 是“好的”，如果存在 $2\times 2$ 的实矩阵 $A_1,\ldots,A_k$ 使得 $P\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\operatorname{det}\left(\sum_{i=1}^{k} x_{i} A_{i}\right)$ 求所有的 $k$ 值，使得所有二次 $k$ 个变量的多项式是“好的”

第二天问题二

令 $x,y$ 和 $z$ 是整数使得 $S=x^4+y^4+z^4$ 被 $29$ 整除。证明 $S$ 被 $29^4$ 整除。

问题四

令 $n>1$ 是一个正的奇整数，且 $A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1 \ldots n}$ 是 $n\times n$ 矩阵 $a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}{2} & {\text { if } i=j} \\ {1} & {\text { if } i-j \equiv \pm 2 \quad(\bmod n)} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.$ 求 $det A$

问题五

对每一个正整数 $k$ ，求最小的数 $n_k$ 存在 $n_k\times n_k$ 实矩阵 $A _1,A_2,\ldots,A_k$ 使得如下条件都满足：
(1) $A_{1}^{2}=A_{2}^{2}=\ldots=A_{k}^{2}=0$
(2) $A_{i} A_{j}=A_{j} A_{i}$ 对所有 $1\leq i,j\leq k$ 成立且
(3) $A_{1} A_{2} \ldots A_{k} \neq 0$

2008

问题二

记 $V$ 为所有单变量实多项式的实向量空间，令 $P:V\rightarrow \mathbb{R}$ 是线性映射。假设对所有的 $f,g\in V$ 有 $P(fg)=0$ 我们有 $P(f)=0$ 或 $P(g)=0$ 。证明存在实数 $x_0,c$ 使得 $P(f)=cf(x_0)$ 对所有的 $f\in V$ 成立。

问题三

令 $p$ 为整系数多项式，令 $a_1<a_2<\ldots<a_k$ 是整数。
a)证明存在 $a\in\mathbb{Z}$ 使得 $p(a_i)$ 对所有 $i=1,2,\ldots,k$ 整除 $p(a)$
b)是否存在 $a\in\mathbb{Z}$ 使得乘积 $p(a_1)\cdot p(a_2)\cdot\ldots\cdot p(a_k)$ 整除 $p(a)$ ?

问题六

对于一个 $\sigma=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ 为 $(1,2,\ldots,n)$ 的排列，定义 $D(\sigma)=\sum_{k=1}^{n}\left|i_{k}-k\right|$ 。令 $Q(n,d)$ 为有着 $d=D(\sigma)$ 的 $(1,2,\ldots,n)$ 的排列 $\sigma$ 。证明 $Q(n,d)$ 对于 $d\geq 2n$ 是奇数。

第二天第五题

令 $n$ 为正整数，考虑矩阵 $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ 其中 $a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } i+j \text { is a prime number, }} \\ {0} & {\text { otherwise. }}\end{array}\right.$ 证明 $|det A|=k^2$ 对某些整数 $k$ 成立。

2009

问题二

令 $A,B,C$ 是有着相同大小的实方阵，假设 $A$ 可逆。证明如果 $(A-B)C=BA^{-1}$ 那么 $C(A-B)=A^{-1}B$

第二天问题三

令 $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ 是两个 $n\times n$ 的矩阵使得 $A^{2} B+B A^{2}=2 A B A$ 证明存在正整数 $k$ 使得 $(AB-BA)^k=0$

2011

问题二

是否存在一个 $3\times 3$ 的实矩阵 $A$ 使得 $tr(A)=0$ 且 $A^2+A^t=I$

问题四

令 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 是有限的，非空集合。定义函数 $f(t)=\sum_{k=1}^{n} \sum_{1 \leq i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{k} \leq n}(-1)^{k-1} t^{\left|A_{i_{1}} \cup A_{i_{2}} \cup \ldots \cup A_{i_{k}}\right|}$ 证明 $f$ 在 $[0,1]$ 上非减。

2012

问题二

令 $n$ 是一个固定的正整数。求一个对角元为零，其它元素为正实数的 $n\times n$ 矩阵的最小的秩。

第二天问题一

考虑一个多项式 $f(x)=x^{2012}+a_{2011} x^{2011}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ 阿尔伯特·爱因斯坦和哈摩尔·辛普森在玩如下的一个游戏。他们轮流选择 $a_0,\ldots,a_{2011}$ 的系数中的一个，并给它赋实值。阿尔伯特先来。一旦一个系数被赋了值，就不能够再变了。这个游戏在所有系数被赋完的时候结束。
哈摩尔的目标是让 $f(x)$ 能够被固定的多项式 $m(x)$ 整除，阿尔伯特的目标是组织这件事情的发生。
(a)哪个玩家有必胜策略，如果 $m(x)=x-2012$ ?
(b)哪个玩家有必胜策略，如果 $m(x)=x^2+1$ ?

2013

问题一

令 $A$ 和 $B$ 是所有特征值严格大于1的实对称矩阵。令 $\lambda$ 是矩阵 $AB$ 的实特征值。证明 $|\lambda|>1$

第二天问题三

假设 $v_1,\ldots,v_d$ 是 $\mathbb{R^d}$ 中的单位向量。证明存在一个单位向量 $u$ 使得 $\left|u \cdot v_{i}\right| \leq 1 / \sqrt{d}$ 对于 $i=1,2,\ldots,d$ 成立

2017

问题一

求所有复数 $\lambda$ ，使得存在一个正整数 $n$ 和一个 $n\times n$ 的实矩阵 $A$ 满足 $A^2=A^T$ 而且 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。

问题五

令 $k$ 和 $n$ 为满足 $n\geq k^2-3k+4$ 的正整数，令 $f(z)=z^{n-1}+c_{n-2} z^{n-2}+\ldots+c_{0}$ 是一个有着复系数的多项式使得 $c_{0} c_{n-2}=c_{1} c_{n-3}=\ldots=c_{n-2} c_{0}=0$ 证明 $f(z)$ 和 $z^n-1$ 有最多 $n-k$ 个公共根。

第二天第八题

定义矩阵序列 $A_1,A_2,\ldots$ 满足 $A_{1}=\left( \begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right), \quad A_{n+1}=\left( \begin{array}{cc}{A_{n}} & {I_{2^{n}}} \\ {I_{2^{n}}} & {A_{n}}\end{array}\right) \quad(n=1,2, \ldots)$ 其中 $I_m$ 是 $m\times m$ 的单位矩阵。
证明 $A_n$ 有 $n+1$ 个互异的整特征根 $\lambda_0<\lambda_1<\ldots<\lambda_n$ 重数分别为 $\left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right), \ldots, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)$

2018

第三题

求所有的有理数 $a$ 使得矩阵 $\left( \begin{array}{cccc}{a} & {-a} & {-1} & {0} \\ {a} & {-a} & {0} & {-1} \\ {1} & {0} & {a} & {-a} \\ {0} & {1} & {a} & {-a}\end{array}\right)$ 成为一个有理数矩阵的平方。

第二天问题六

令 $k$ 为一个正整数。求最小的正整数 $n$ ，存在 $k$ 个非零向量 $v_1,\ldots,v_k$ 在 $\mathbb{R^n}$ 中使得每一对 $i,j$ 满足 $|i-j|>1$ ，向量 $v_i$ 和 $v_j$ 都正交。

问题九

求所有的首一复多项式 $P(x),Q(x)$ 对，使得 $P(x)$ 整除 $Q(x)^2+1$ 且 $Q(x)$ 整除 $P(x)^2+1$

人面猴
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IMC高代部分

1994

问题一

问题四

1995

问题1

问题5

第二天的问题一

1996

问题一

问题三

1997

问题三

第二天，问题二

问题四

1998

问题一

第二天问题一

1999

问题一

2000

问题二

问题三

第二天问题六

2001

问题一

问题五

第二天问题一

2002

第二天问题一

2003

问题三

第二天问题一

2004

问题二

第二天问题一

问题四

问题六

2005

问题一

第二天问题三

问题三

2006

问题二

问题三

第二天问题四

问题五

问题六

2007

问题一

问题三

第二天问题二

问题四

问题五

2008

问题二

问题三

问题六

第二天第五题

2009

问题二

第二天问题三

2011

问题二

问题四

2012

问题二

第二天问题一

2013

问题一

第二天问题三

2017

问题一

问题五

第二天第八题

2018

第三题

第二天问题六

问题九

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