1. 群

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作，运算记作， 那么群可以记作。群要求这个运算满足以下几个条件：

1. 封闭性: .
2. 结合律: .
3. 幺元:
4. 逆: .

2. special orthogonal group

定义参考坐标系(fix frame)为，定义body frame为，在fixed frame下经过一定的旋转，对应的旋转矩阵为，

坐标系的三个坐标轴，即基，，同时，满足以下条件，

1. 单位向量
   
2. 正交
   ，即
   
   上面两个性质可以写成矩阵的形势，
   
   此外，坐标系的三个坐标轴还需要遵守右手坐标系，例如，其中表示叉乘。
   在线性代数上有如下的一个公式，当我们知道一个矩阵的三列为时，我们可以求得矩阵的行列式值为，

所以，我们可以得到，

至此，我们推导出了旋转矩阵满足的两个条件。在数学上，将满足上述两个条件的的矩阵统称为special orthogonal group ，即3维的特殊正交群，容易验证符合群的封结幺逆的性质，此外对于任意的3维列向量，和具有相同的长度(2范数)。

3. 旋转矩阵的使用

1. 描述一个坐标系
2. 改变向量或者坐标系的参考坐标系
3. 旋转一个坐标系或者向量

3.1 描述坐标系

在第一种情况下，旋转矩阵的三列分别对应坐标系的三个坐标轴，即基，

考虑以上三个坐标系，其对应的描述为，

而空间中的同一点，在三个坐标系中的描述分别为，

3.2 改变参考坐标系

假设旋转矩阵，描述了相对于的旋转，描述了相对于的旋转，则为相对于的旋转，

向量在坐标系的向量为，则在坐标系下为，

3.3 旋转一个坐标系或者向量

在坐标系下旋转一个向量(同一坐标系下)，会产生另外一个向量，

而对一个坐标系乘以一个旋转矩阵，则有不同的意义，分为左乘和右乘，下面分别介绍，其中参考坐标系为，body frame为，绕轴转90度生成，表示在下的描述，而仅表示某一旋转矩阵(绕着转30度),下面借助matlab来进行可视化，

3.3.1 左乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R * R_sb 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
     
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -1.0000         0
    0.8660         0   -0.5000
    0.5000         0    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，左乘，是顺着原来中的轴旋转了30度。因此左乘，是在坐标系下的描述。

3.3.2 右乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R_sb * R 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -0.8660    0.5000
    1.0000         0         0
         0    0.5000    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，右乘，是顺着中的轴旋转了30度。右乘，是在坐标系下描述。
其实关于左乘和右乘，在前面的文章中介绍过旋转矩阵的列向量是在中的描述，右乘相当于，

此时，矩阵的乘积的每一列都是所对应基的线性组合，所以此时的意义肯定是在坐标系下描述。
同理，前面文章提到过，旋转矩阵的行向量是在中的描述，此时是参考坐标系，

此时，矩阵的乘积的每一行都是所对应基的线性组合，所以此时的意义肯定是在坐标系下描述。