位势方程和格林定理

另一个偏微分方程的重要发展围绕着位势方程进行，其主要结果格林定理也应用于许多其它类型的微分方程。位势方程出现在18世纪的引力研究，到19世纪又出现在热传导的研究，因为物体内温度分布逐点变化，但不随时间变化，即处于稳定状态时的T与时间t无关，于是热方程化为位势方程。19世纪早期，位势方程广泛用于引力计算，之后又用于静电学和静磁学，椭球体的吸引也是位势方程的处理范围。

1813年泊松对重力吸引的位势方程作了修正，之前拉普拉斯假设对物体内外任何点(x,y,z)都成立，泊松指出如果(x,y,z)在吸引体内部，则满足，其中ρ是吸引体密度，也是x,y,z的一个函数，不过泊松承认，这个泊松方程的证明是不严密的。在这篇论文中，他说如果电荷可自由分布在任何导体表面，则V在表面的值必定是常数，在电学研究中可利用这个函数V。他还在其它论文中解决了许多求电荷在相近导体表面分布的问题，他的基本原理是：在各导体内部，静电荷力必须为零。

尽管拉普拉斯、泊松、高斯等人在位势方程上做了许多工作，但在1820s人们仍不了解位势方程解的一般性质，当时大家认为通积分必须包含两个任意函数，一个给出解在边界上的值，一个给出导数在边界上的值。对于T满足位势方程的稳态热传导，只要温度在表面给定，就确定了整个三维物体的内部温度或热分布，因此在通解中，其中一个任意函数必须按某种方式由某个其它条件固定下来。

自学成才的数学家乔治格林企图用纯数学论述静电磁学，1828年他自己印了本小册子，很多年后威廉汤姆森（又称开尔文勋爵，就是我们知道的搞热力学的那个开尔文，1824-1907，搞汤姆森模型的叫J.J汤姆森，俩人应该没啥关系）发现了它的重大价值，将其发表在《数学杂志》。格林受泊松启发，把位势函数的概念搬到电磁学。他证明定理：设U和V是x,y,z的两个任意连续函数，它们的导数在任一物体内的任何点上都不为无穷，有,其中n是物体表面指向内部的法向，dσ是曲面元。俄国数学家奥斯特罗格拉茨基（Ostrogradsky，1801-1861）也证明过该定理，并于1828年报告给彼得堡科学院。

格林指出V和V的每个一阶导数在物体内部连续可以代替V的导数所应满足的边界条件。根据这一事实，格林用V在边界（假设函数已给定）上的值和另一个具有以下性质的函数U来表示物体内部的V：1、U在表面必须为0；2、在内部一个固定但未确定的点P上，U像1/r一样变为无穷，r是P与任何另一点间的距离；3、U在内部必须满足位势方程，如果U已知（U的条件比V简单），V在每一内点可以表示为：，显然P的坐标包含在U对n的偏导内，而且是在P处的变量。这个由格林引进，并被黎曼称为格林函数的函数U已成为偏微分的基本概念。格林称函数U为位势函数，他求位势方程解的方法与用特殊函数的级数相反，称为奇异点方法。遗憾的是，U没有一般的表达式，也没有一般的解法，格林用电荷产生电位为例给出了U的物理意义。

1833年格林着手研究变密度椭球体的引力位势问题，他证明V在物体边界给定时，在整个物体上刚好有个函数满足ΔV=0，没有奇点，有给定的边界值。在证明中他首次使用了狄利克雷原理，假设存在一个函数极小化积分。在同篇论文中，他做了许多用n维替代三维的工作，得出了现在称为超球面函数的重要结果，它是拉普拉斯球面调和函数的推广。因为格林当时没啥名气，也有其他人搞过类似的工作。

格林是分析引入英国后第一个沿大陆学派前进的英国数学家，他的工作培育出数学物理学的剑桥学派，其中包括开尔文、斯托克斯、瑞利和麦克斯韦。

继格林之后，高斯在1839年的论文中严格地证明了泊松的结果，即在物体内部一点处有ΔV=-4πρ，ρ在该点及周围一小区域内连续。在物体表面不满足该条件，在表面V的二阶导有跳跃。

至此，大家都假定位势方程和泊松方程解的存在，格林对格林函数的证明完全基于物理，从存在性观点看，位势理论的基本问题是要证明存在一个位势函数V（1850年左右开尔文称之为调和函数），它的值在区域边界上给定，在区域内满足ΔV=0，人们可以证实这点，或先证实格林函数U的存在性再从U得到V。建立格林函数或V本身的存在性问题称为狄利克雷问题或位势理论的第一边值问题，是位势方程中最基本及最早的存在性问题。当V在边界的法向导数给定时，要找函数V使其在区域内满足ΔV=0的问题以莱比锡教授诺伊曼的名字命名，称为诺伊曼问题，是位势理论的第二基本问题。

之前提到格林用狄利克雷原理建立了一条解决解的存在性的路径，1847年开尔文将其提到突出地位，在英国称为开尔文定理，这个原理可以理解为：曲面S把区域分为内部区域T和外部区域T'，考虑T和T'上分别有连续二阶导数的一切函数U的集合，U处处连续，并在S上取一连续函数f的值，极小化狄利克雷积分的函数V就是满足ΔV=0且在边界S取值为f的一个函数。按变分学意义，I的一级变分是ΔV，而对极小化的V，ΔV必须为0，因为对实的U，I不可能是负的，因此极小化函数V一定存在且唯一。

黎曼在复变函数的工作增加了狄利克雷问题和原理的重要性，他在博士论文中用二维情形的狄利克雷原理证明V的存在性，不过他自己承认这是不严格的。

魏尔斯特拉斯1870年批评狄利克雷原理时指出，极小化函数U的先验存在性是缺乏支持的，对一切连续可微函数U（从内部到边界连续变动），此积分的确有个下界，但这类函数中是否存在一个函数U0达到这下界却是未经证明的。

解位势方程的另一技巧是利用复函数论，尽管早在18世纪达朗贝尔和欧拉在一些特殊情形中已使用过复函数论解位势方程，到19世纪中叶复函数论才活跃地用于位势理论，二者关系是基于事实：如果u+iv是z的一个解析函数，则uv都满足拉普拉斯方程，此外如果u满足拉普拉斯方程，则使u+iv解析的共轭函数v必定存在。

用Δu=0研究流体流动时，函数u(x,y)是亥姆霍兹说的速度势，此时u对x,y的偏导表示流体在点(x,y)的速度分量。在静电学中u是静电位，而u的偏导是电力分量。曲线u=常数是等位线，而正交于等位线的v=常数是流线或趋势线（电力线），函数u(x,y)叫流势函数。解位势方程时。使用复函数论的优点是基于：如果F(z)=F(x+iy)是解析函数，因而实部和虚部满足ΔV=0，经过变换ξ=f(x,y)，η=g(x,y)，其中ζ=ξ+iη，产生另一个解析函数G(ζ)=G(ξ+iη)，其实部和虚部也满足ΔV(ξ，η)=0，如果原ΔV=0必须在区域D内求解，变换后则在D'中求解，而D'更加简单，可利用保角变换如施瓦茨-克里斯托费尔变换。

复函数论在位势理论中的用法细节远超出解偏微分方程的基本方法，值得指出的是，19世纪还有许多人拒绝用复函数，因为他们仍不相信复数，直到1879年，剑桥才首次接受了复函数论的著作（贺拉斯兰姆的流体动力学）