共轭函数
定义：扩展实值函数 ![f: \mathbb{R}^n \mapsto [-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cmapsto%20%5B-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
的共轭函数 ![f^*: \mathbb{R}^n \mapsto [-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%5E*%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cmapsto%20%5B-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
定义如下：
%20%3D%20%5Csup_%7B%5Cboldsymbol%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%7D%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%5E%5Ctop%20%5Cboldsymbol%7By%7D%20-%20f(%5Cboldsymbol%7Bx%7D)%20%5Cright%5C%7D%2C%20%5Cquad%20%5Cboldsymbol%7By%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En.)
二次共轭函数
定义：扩展实值函数 ![f: \mathbb{R}^n \rightarrow [-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20%5B-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
的二次共轭函数 ![f^{**}: \mathbb{R}^n \rightarrow [-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%5E%7B**%7D%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20%5B-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
是其共轭函数 
的共轭函数，定义如下：
%20%3D%20%5Csup_%7B%5Cboldsymbol%7By%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%7D%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cboldsymbol%7By%7D%5E%5Ctop%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%20-%20f%5E*(%5Cboldsymbol%7By%7D)%20%5Cright%5C%7D%2C%20%5Cquad%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En.)
Theorem (共轭定理)
设 为扩展实值函数，其共轭函数和二次共轭函数分别是 和 
，则如下结论成立：
-
%20%5Cgeq%20f%5E%7B**%7D(%5Cboldsymbol%7Bx%7D)%2C%20%5Cforall%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En)
;
- 若
是正常闭凸函数，则 %20%3D%20f%5E%7B**%7D(%5Cboldsymbol%7Bx%7D)%2C%20%5Cforall%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En)
;
-
的共轭函数与其闭凸包的共轭函数等价，若
))
是正常函数，则 )(%5Cboldsymbol%7Bx%7D)%20%3D%20f%5E%7B**%7D(%5Cboldsymbol%7Bx%7D)%2C%20%5Cforall%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En)
;
- 当 是凸函数时，三个函数 ， 和 中之一是正常函数，则其它两个也是正常函数。
极大极小问题
一个零和博弈的例子：
考虑如下只有两个玩家的零和博弈，其中玩家 A 有 
个策略，玩家 B 有 
个策略，若玩家 A 选择策略 
的同时玩家 B 选择策略 
，则玩家 A 需支付 
的报酬给玩家 B，玩家 A 的目标就是最小化他支付的报酬，玩家 B 的目标就是最大化他得到的报酬。不妨设他们都采用混合策略，即玩家 A 按概率分布 )
选择策略，玩家 B 按概率分布 )
选择策略，那么玩家 A 的期望支付报酬就是
其中矩阵 
第 行第 列的元素是 。若每个玩家都考虑最坏的情况，即玩家 A 最小化 
，玩家 B 最大化 
，不难看出这两个问题就是上面的极大极小问题。
极大极小问题的定义
设 
是闭凸函数，其中 
和 
分别是 
和 
的非空子集，考虑如下的极大极小问题：
强对偶关系
那我们很自然就想了解一个问题，在什么条件下：有如下的极大极小等式，我们也称为强对偶关系成立？并且两个极值都能取到？
%20%3D%20%5Cinf_%7Bx%20%5Cin%20X%7D%20%5Csup_%7Bz%20%5Cin%20Z%7D%20%5Cphi(x%2C%20z))
弱对偶关系
我们知道，总是有下面的弱对偶关系成立：
如下弱对偶关系总是成立：
%20%5Cleq%20%5Cinf_%7Bx%20%5Cin%20X%7D%20%5Csup_%7Bz%20%5Cin%20Z%7D%20%5Cphi(x%2C%20z).)
这是因为对于 
有
%20%5Cleq%20%5Cinf_%7Bx%20%5Cin%20X%7D%20%5Csup_%7Bz%20%5Cin%20Z%7D%20%5Cphi(x%2C%20z).)
对 
再取上确界即可证明弱对偶关系。
因此我们只需要研究在什么条件下有如下关系成立即可：
%20%5Cgeq%20%5Cinf_%7Bx%20%5Cin%20X%7D%20%5Csup_%7Bz%20%5Cin%20Z%7D%20%5Cphi(x%2C%20z).)
鞍点
定义：若向量 
和 
使得
%20%5Cleq%20%5Cphi(x%5E*%2C%20z%5E*)%20%5Cleq%20%5Cphi(x%2C%20z%5E*)%2C%20%5Cquad%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20X%2C%20%5Cforall%20z%20%5Cin%20Z)
成立，则称 )
为 
的鞍点 (saddle point)。
鞍点与极大极小值的关系
-
为 的鞍点当且仅当极大极小等式成立且
是：
%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bs.t.%20%7D%20x%20%5Cin%20X.)
-
是
%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bs.t.%20%7D%20z%20%5Cin%20Z.)
