二叉搜索树应用（补充）

1.不同的二叉搜索树（96-中）

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例：

输入：n = 3
输出：5

思路：注意二叉排序树，因此如果选择 i 为根节点，那么左子树共有 i - 1 个节点，右子树共有 n - i 个节点，每种根节点对应的二叉树的数量肯定是两个子树情况的乘积，一共有n个这样的根节点。

  • dp[i] 含义：i个节点组成的二叉搜索树数量
  • 状态转移方程：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

事实上，状态转移方程在数学上被称为卡塔兰数，便于计算的定义如下：

  • C0 = 1， Cn+1 = 2*Cn*(2*n + 1)/(n + 2)

代码：

public int numTrees(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;  // 空树也是一种二叉搜索树
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
}

// 数学：卡特兰数
public int numTrees(int n) {
    long ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ans = ans * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return (int)ans;
}

2.不同的二叉搜索树II（95-中）

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 ？返回满足题意的二叉搜索树。

示例：

输入：n = 3
输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]

思路：二叉搜索树，对于任意一个节点大于左子树节点, 小于右子树节点。

  • 主要思想为分治递归树，然后左右子树列表构建结果树。
  • 注意：当n=0时，返回[], 但是F[0]]需要记录[[]]。

代码：

public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
    if (n < 1) {
        return new LinkedList<TreeNode>();
    }
    return generateSubTrees(1, n);
}
private List<TreeNode> generateSubTrees(int s, int e) {
    List<TreeNode> ret = new LinkedList<>();
    if (s > e) {
        //显然保证左子树或者右子树为空，正确构建树依赖下边左右子树列表的遍历，如果列表为空，那么循环不能进行。
        ret.add(null);
        return ret;
    }
    // 枚举所有可行的根节点
    for (int i = s; i <= e; ++i) {
        //1.分解：获取所有可行的左右子树集合
        List<TreeNode> leftSubTrees = generateSubTrees(s, i - 1);
        List<TreeNode> rightSubTrees = generateSubTrees(i + 1, e);
        //2.合并：合并左右子树，需要创建leftSubTrees.size() * rightSubTrees.size()个根节点
        for (TreeNode left : leftSubTrees) {
            for (TreeNode right : rightSubTrees) {
                TreeNode root = new TreeNode(i);
                root.left = left;
                root.right = right;
                ret.add(root);
            }
        }
    }
    return ret;
}

3.恢复二叉搜索树（99-难）

题目描述：给你二叉搜索树的根节点 root ，该树中的两个节点被错误地交换。请在不改变其结构的情况下，恢复这棵树。

进阶：使用 O(n) 空间复杂度的解法很容易实现。你能想出一个只使用常数空间的解决方案吗？

示例：

输入：root = [1,3,null,null,2]
输出：[3,1,null,null,2]
解释：3 不能是 1 左孩子，因为 3 > 1 。交换 1 和 3 使二叉搜索树有效。

思路：显然利用中序序列的有序性，使用递归、迭代与morris（左子树为空和不为空两种情况）遍历解决，参考二叉树的中序遍历。注意交换的两种情况：

  • 相邻两个数字交换（一组逆序对）
  • 不相邻数字交换（两组逆序对）

代码：

// 递归解法
TreeNode first = null, second = null, pre = null;
public void recoverTree(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    int tmp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = tmp;
}

public void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root.left);
    if (pre != null && root.val < pre.val) {
        if (first == null) {
            first = pre;
            second = root;
        } else {
            second = root;
        }
    }
    pre = root;
    inOrder(root.right);
}
// 迭代解法
TreeNode first = null, second = null, pre = null;
public void recoverTree(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    int tmp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = tmp;
}

public void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
    while (root != null || !stack.isEmpty()) {
        while (root != null) {
            stack.push(root);
            root = root.left;
        }
        root = stack.pop();
        if (pre != null && root.val < pre.val) {
            if (first == null) {
                first = pre;
                second = root;
            } else {
                second = root;
            }
        }
        pre = root;
        root = root.right;
    }
}
// morris解法
public void recoverTree(TreeNode root) {
    TreeNode first = null;
    TreeNode second = null;
    TreeNode cur = root;
    TreeNode pre_new = null;
    while (cur != null) {
        // 情况 1
        if (cur.left == null) {
            /*******************************************************/
            if (pre_new != null && cur.val < pre_new.val) {
                if (first == null) {
                    first = pre_new;
                    second = cur;
                } else {
                    second = cur;
                }
            }
            pre_new = cur;
            /*******************************************************/
            cur = cur.right;
        } else {
            // 找左子树最右边的节点
            TreeNode pre = cur.left;
            while (pre.right != null && pre.right != cur) {
                pre = pre.right;
            }
            // 情况 2.1（第一次到达左子树的最右节点，改变指针）
            if (pre.right == null) {
                pre.right = cur;
                cur = cur.left;
            }
            // 情况 2.2（第二到达，恢复指针）
            if (pre.right == cur) {
                pre.right = null; // 这里可以恢复为 null
                /*******************************************************/
                if (pre_new != null && cur.val < pre_new.val) {
                    if (first == null) {
                        first = pre_new;
                        second = cur;
                    } else {
                        second = cur;
                    }
                }
                pre_new = cur;
                /*******************************************************/
                cur = cur.right;
            }
        }
    }
    
    int temp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = temp;
}

4.验证二叉搜索树（98-中）

题目描述：验证一棵树是否为二叉搜索树：左子树节点都小于当前节点，右子树节点都大于当前节点，左右子树本身也是二叉搜索树。

示例：

输入:
    5
   / \
  1   4
     / \
    3   6
输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
     根节点的值为 5 ，但是其右子节点值为 4 。

思路：可以使用额外空间，可以通过二叉搜索树中序遍历的有序性进行判断，实现简单。

这里使用递归进行判断：

  • 终止条件：root == null return true（空树也是二叉搜索树）
  • 递归逻辑：当前节点与上一个节点值的大小关系
  • 与二叉树的中序遍历相同：先左子树，当前节点，右子树

代码：

List<Integer> res = new ArrayList<>();
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    for (int i = 1; i < res.size(); i++) {
        if (res.get(i) <= res.get(i - 1)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
private void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root.left);
    res.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

//设置一个pre变量存上一个节点的值
long pre = Long.MIN_VALUE;
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
   if (root == null) return true;
   if (!isValidBST(root.left)) {
       return false;
   }
   //访问当前节点，当前节点小于或者等于中序遍历的上一个节点，不满足，否则继续
   if (root.val <= pre) {
       return false;
   }
   pre = root.val;
   return isValidBST(root.right);
}

7.不同的二叉搜索树（96-中）

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例：

输入：n = 3
输出：5

思路：注意二叉排序树，因此如果选择 i 为根节点，那么左子树共有 i - 1 个节点，右子树共有 n - i 个节点，每种根节点对应的二叉树的数量肯定是两个子树情况的乘积，一共有n个这样的根节点。

  • dp[i] 含义：i个节点组成的二叉搜索树数量
  • 状态转移方程：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

事实上，状态转移方程在数学上被称为卡塔兰数，便于计算的定义如下：

  • C0 = 1， Cn+1 = 2*Cn*(2*n + 1)/(n + 2)

代码：

public int numTrees(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;  // 空树也是一种二叉搜索树
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
}

// 数学：卡特兰数
public int numTrees(int n) {
    long ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ans = ans * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return (int)ans;
}

8.不同的二叉搜索树II（95-中）

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 ？返回满足题意的二叉搜索树。

示例：

输入：n = 3
输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]

思路：二叉搜索树，对于任意一个节点大于左子树节点, 小于右子树节点。

  • 主要思想为分治递归树，然后左右子树列表构建结果树。
  • 注意：当n=0时，返回[], 但是F[0]]需要记录[[]]。

代码：

public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
    if (n < 1) {
        return new LinkedList<TreeNode>();
    }
    return generateSubTrees(1, n);
}
private List<TreeNode> generateSubTrees(int s, int e) {
    List<TreeNode> ret = new LinkedList<>();
    if (s > e) {
        //显然保证左子树或者右子树为空，正确构建树依赖下边左右子树列表的遍历，如果列表为空，那么循环不能进行。
        ret.add(null);
        return ret;
    }
    // 枚举所有可行的根节点
    for (int i = s; i <= e; ++i) {
        //1.分解：获取所有可行的左右子树集合
        List<TreeNode> leftSubTrees = generateSubTrees(s, i - 1);
        List<TreeNode> rightSubTrees = generateSubTrees(i + 1, e);
        //2.合并：合并左右子树，需要创建leftSubTrees.size() * rightSubTrees.size()个根节点
        for (TreeNode left : leftSubTrees) {
            for (TreeNode right : rightSubTrees) {
                TreeNode root = new TreeNode(i);
                root.left = left;
                root.right = right;
                ret.add(root);
            }
        }
    }
    return ret;
}

8.恢复二叉搜索树（99-难）

题目描述：给你二叉搜索树的根节点 root ，该树中的两个节点被错误地交换。请在不改变其结构的情况下，恢复这棵树。

进阶：使用 O(n) 空间复杂度的解法很容易实现。你能想出一个只使用常数空间的解决方案吗？

示例：

输入：root = [1,3,null,null,2]
输出：[3,1,null,null,2]
解释：3 不能是 1 左孩子，因为 3 > 1 。交换 1 和 3 使二叉搜索树有效。

思路：显然利用中序序列的有序性，使用递归、迭代与morris（左子树为空和不为空两种情况）遍历解决，参考二叉树的中序遍历。注意交换的两种情况：

  • 相邻两个数字交换（一组逆序对）
  • 不相邻数字交换（两组逆序对）

代码：

// 递归解法
TreeNode first = null, second = null, pre = null;
public void recoverTree(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    int tmp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = tmp;
}

public void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root.left);
    if (pre != null && root.val < pre.val) {
        if (first == null) {
            first = pre;
            second = root;
        } else {
            second = root;
        }
    }
    pre = root;
    inOrder(root.right);
}
// 迭代解法
TreeNode first = null, second = null, pre = null;
public void recoverTree(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    int tmp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = tmp;
}

public void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
    while (root != null || !stack.isEmpty()) {
        while (root != null) {
            stack.push(root);
            root = root.left;
        }
        root = stack.pop();
        if (pre != null && root.val < pre.val) {
            if (first == null) {
                first = pre;
                second = root;
            } else {
                second = root;
            }
        }
        pre = root;
        root = root.right;
    }
}
// morris解法
public void recoverTree(TreeNode root) {
    TreeNode first = null;
    TreeNode second = null;
    TreeNode cur = root;
    TreeNode pre_new = null;
    while (cur != null) {
        // 情况 1
        if (cur.left == null) {
            /*******************************************************/
            if (pre_new != null && cur.val < pre_new.val) {
                if (first == null) {
                    first = pre_new;
                    second = cur;
                } else {
                    second = cur;
                }
            }
            pre_new = cur;
            /*******************************************************/
            cur = cur.right;
        } else {
            // 找左子树最右边的节点
            TreeNode pre = cur.left;
            while (pre.right != null && pre.right != cur) {
                pre = pre.right;
            }
            // 情况 2.1（第一次到达左子树的最右节点，改变指针）
            if (pre.right == null) {
                pre.right = cur;
                cur = cur.left;
            }
            // 情况 2.2（第二到达，恢复指针）
            if (pre.right == cur) {
                pre.right = null; // 这里可以恢复为 null
                /*******************************************************/
                if (pre_new != null && cur.val < pre_new.val) {
                    if (first == null) {
                        first = pre_new;
                        second = cur;
                    } else {
                        second = cur;
                    }
                }
                pre_new = cur;
                /*******************************************************/
                cur = cur.right;
            }
        }
    }
    
    int temp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = temp;
}

8.验证二叉搜索树（98-中）

题目描述：验证一棵树是否为二叉搜索树：左子树节点都小于当前节点，右子树节点都大于当前节点，左右子树本身也是二叉搜索树。

示例：

输入:
    5
   / \
  1   4
     / \
    3   6
输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
     根节点的值为 5 ，但是其右子节点值为 4 。

思路：可以使用额外空间，可以通过二叉搜索树中序遍历的有序性进行判断，实现简单。

这里使用递归进行判断：

  • 终止条件：root == null return true（空树也是二叉搜索树）
  • 递归逻辑：当前节点与上一个节点值的大小关系
  • 与二叉树的中序遍历相同：先左子树，当前节点，右子树

代码：

List<Integer> res = new ArrayList<>();
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    for (int i = 1; i < res.size(); i++) {
        if (res.get(i) <= res.get(i - 1)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
private void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root.left);
    res.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

//设置一个pre变量存上一个节点的值
long pre = Long.MIN_VALUE;
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
   if (root == null) return true;
   if (!isValidBST(root.left)) {
       return false;
   }
   //访问当前节点，当前节点小于或者等于中序遍历的上一个节点，不满足，否则继续
   if (root.val <= pre) {
       return false;
   }
   pre = root.val;
   return isValidBST(root.right);
}

7.不同的二叉搜索树（96-中）

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例：

输入：n = 3
输出：5

思路：注意二叉排序树，因此如果选择 i 为根节点，那么左子树共有 i - 1 个节点，右子树共有 n - i 个节点，每种根节点对应的二叉树的数量肯定是两个子树情况的乘积，一共有n个这样的根节点。

  • dp[i] 含义：i个节点组成的二叉搜索树数量
  • 状态转移方程：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

事实上，状态转移方程在数学上被称为卡塔兰数，便于计算的定义如下：

  • C0 = 1， Cn+1 = 2*Cn*(2*n + 1)/(n + 2)

代码：

public int numTrees(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;  // 空树也是一种二叉搜索树
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
}

// 数学：卡特兰数
public int numTrees(int n) {
    long ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ans = ans * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return (int)ans;
}

8.不同的二叉搜索树II（95-中）

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 ？返回满足题意的二叉搜索树。

示例：

输入：n = 3
输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]

思路：二叉搜索树，对于任意一个节点大于左子树节点, 小于右子树节点。

  • 主要思想为分治递归树，然后左右子树列表构建结果树。
  • 注意：当n=0时，返回[], 但是F[0]]需要记录[[]]。

代码：

public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
    if (n < 1) {
        return new LinkedList<TreeNode>();
    }
    return generateSubTrees(1, n);
}
private List<TreeNode> generateSubTrees(int s, int e) {
    List<TreeNode> ret = new LinkedList<>();
    if (s > e) {
        //显然保证左子树或者右子树为空，正确构建树依赖下边左右子树列表的遍历，如果列表为空，那么循环不能进行。
        ret.add(null);
        return ret;
    }
    // 枚举所有可行的根节点
    for (int i = s; i <= e; ++i) {
        //1.分解：获取所有可行的左右子树集合
        List<TreeNode> leftSubTrees = generateSubTrees(s, i - 1);
        List<TreeNode> rightSubTrees = generateSubTrees(i + 1, e);
        //2.合并：合并左右子树，需要创建leftSubTrees.size() * rightSubTrees.size()个根节点
        for (TreeNode left : leftSubTrees) {
            for (TreeNode right : rightSubTrees) {
                TreeNode root = new TreeNode(i);
                root.left = left;
                root.right = right;
                ret.add(root);
            }
        }
    }
    return ret;
}

8.恢复二叉搜索树（99-难）

题目描述：给你二叉搜索树的根节点 root ，该树中的两个节点被错误地交换。请在不改变其结构的情况下，恢复这棵树。

进阶：使用 O(n) 空间复杂度的解法很容易实现。你能想出一个只使用常数空间的解决方案吗？

示例：

输入：root = [1,3,null,null,2]
输出：[3,1,null,null,2]
解释：3 不能是 1 左孩子，因为 3 > 1 。交换 1 和 3 使二叉搜索树有效。

思路：显然利用中序序列的有序性，使用递归、迭代与morris（左子树为空和不为空两种情况）遍历解决，参考二叉树的中序遍历。注意交换的两种情况：

  • 相邻两个数字交换（一组逆序对）
  • 不相邻数字交换（两组逆序对）

代码：

// 递归解法
TreeNode first = null, second = null, pre = null;
public void recoverTree(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    int tmp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = tmp;
}

public void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root.left);
    if (pre != null && root.val < pre.val) {
        if (first == null) {
            first = pre;
            second = root;
        } else {
            second = root;
        }
    }
    pre = root;
    inOrder(root.right);
}
// 迭代解法
TreeNode first = null, second = null, pre = null;
public void recoverTree(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    int tmp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = tmp;
}

public void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
    while (root != null || !stack.isEmpty()) {
        while (root != null) {
            stack.push(root);
            root = root.left;
        }
        root = stack.pop();
        if (pre != null && root.val < pre.val) {
            if (first == null) {
                first = pre;
                second = root;
            } else {
                second = root;
            }
        }
        pre = root;
        root = root.right;
    }
}
// morris解法
public void recoverTree(TreeNode root) {
    TreeNode first = null;
    TreeNode second = null;
    TreeNode cur = root;
    TreeNode pre_new = null;
    while (cur != null) {
        // 情况 1
        if (cur.left == null) {
            /*******************************************************/
            if (pre_new != null && cur.val < pre_new.val) {
                if (first == null) {
                    first = pre_new;
                    second = cur;
                } else {
                    second = cur;
                }
            }
            pre_new = cur;
            /*******************************************************/
            cur = cur.right;
        } else {
            // 找左子树最右边的节点
            TreeNode pre = cur.left;
            while (pre.right != null && pre.right != cur) {
                pre = pre.right;
            }
            // 情况 2.1（第一次到达左子树的最右节点，改变指针）
            if (pre.right == null) {
                pre.right = cur;
                cur = cur.left;
            }
            // 情况 2.2（第二到达，恢复指针）
            if (pre.right == cur) {
                pre.right = null; // 这里可以恢复为 null
                /*******************************************************/
                if (pre_new != null && cur.val < pre_new.val) {
                    if (first == null) {
                        first = pre_new;
                        second = cur;
                    } else {
                        second = cur;
                    }
                }
                pre_new = cur;
                /*******************************************************/
                cur = cur.right;
            }
        }
    }
    
    int temp = first.val;
    first.val = second.val;
    second.val = temp;
}

8.验证二叉搜索树（98-中）

题目描述：验证一棵树是否为二叉搜索树：左子树节点都小于当前节点，右子树节点都大于当前节点，左右子树本身也是二叉搜索树。

示例：

输入:
    5
   / \
  1   4
     / \
    3   6
输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
     根节点的值为 5 ，但是其右子节点值为 4 。

思路：可以使用额外空间，可以通过二叉搜索树中序遍历的有序性进行判断，实现简单。

这里使用递归进行判断：

  • 终止条件：root == null return true（空树也是二叉搜索树）
  • 递归逻辑：当前节点与上一个节点值的大小关系
  • 与二叉树的中序遍历相同：先左子树，当前节点，右子树

代码：

List<Integer> res = new ArrayList<>();
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    inOrder(root);
    for (int i = 1; i < res.size(); i++) {
        if (res.get(i) <= res.get(i - 1)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
private void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root.left);
    res.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

//设置一个pre变量存上一个节点的值
long pre = Long.MIN_VALUE;
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
   if (root == null) return true;
   if (!isValidBST(root.left)) {
       return false;
   }
   //访问当前节点，当前节点小于或者等于中序遍历的上一个节点，不满足，否则继续
   if (root.val <= pre) {
       return false;
   }
   pre = root.val;
   return isValidBST(root.right);
}
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