算法(5):二叉树

  终于到傻叉树啦~ 这个是我想好好探讨的一种数据结构,小伙子我觉得它有难度,不管是前中后序以及层级遍历,还是各种递归迭代的妙用,总之,很酷!
  加油加油,怎么也得写个十多篇算法系列才行~



  虽然本系列着重讲算法,但还是需要个引子,所以小编先简单说一下啥是二叉树。二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。如下图所示,便是一个二叉树结构。


二叉树

  既然大家知道什么是二叉树了,那么我们首先来看一下二叉树的前序遍历(Pre-order Traversal)、中序遍历(In-order Traversal)以及后序遍历(Post-order Traversal)。

  • 前序遍历:先根节点,再左节点,最后右节点。(也可以右左根,然后翻转)
  • 中序遍历:先左节点,再根节点,最后右节点。(也可以右根左,然后翻转)
  • 后序遍历:先左节点,在右节点,最后根节点。(也可以根右左,然后翻转)

  说白了,就是看遍历根节点的先后顺序。而不论是哪种遍历方法,都是左节点比右节点先遍历。当然,如果按照括号里给出的操作方式,也可以得到相同结果~ 那么,既然知道了如何遍历,根据上面的二叉树图,大家可以写出不同遍历方法的的结果吗?
  算了,我也不知道你们会不会,索性先把答案给各位放出来,有兴趣的小伙伴可以先试试自己写,然后和我给的答案对照一下~ 蛤?你说你的答案跟我的不一样?那肯定是你错了......

  • 前序遍历结果:F B A D C E G I H
  • 中序遍历结果:A B C D E F G H I
  • 后序遍历结果:A C E D B H I G F

  既然有这三种遍历方法,那么,它们都有何作用呢?什么时候用前序遍历,什么时候又需要后序遍历呢?大家且听我慢慢道来:

  • 前序遍历:在第一次遍历到节点时就执行操作,一般只是想遍历执行操作(或输出结果)可选用先序遍历,如输出某个文件夹下所有文件与文件夹的名称:遍历文件夹,先输出文件夹名,然后再依次输出该文件夹下的所有文件(包括子文件夹),如果有子文件夹,则再进入该子文件夹,输出该子文件夹下的所有文件名。这是一个典型的先序遍历过程。

  • 中序遍历:对于二分搜索树,中序遍历的操作顺序(或输出结果顺序)是符合从小到大(或从大到小)顺序的,故要遍历输出排序好的结果需要使用中序遍历。除此之外,还有中缀表达式,一个通用的算术或逻辑公式表示方法。符合人类的逻辑(例:2 + 3).

  • 后序遍历:后续遍历的特点是执行操作时,肯定已经遍历过该节点的左右子节点。1. 故适用于进行破坏性操作的情况,比如删除节点(因为我们在删除节点时需要先删除左右两子节点,再删除该节点)。2. 其次,如果我们要统计文件夹大小,也需要后序遍历来实现:若要知道某文件夹的大小必须先知道该文件夹下所有文件的大小,如果有子文件夹,若要知道该子文件夹大小,必须先知道子文件夹所有文件的大小。这是一个典型的后序遍历过程。3. 既然有了中缀表达式,那么也有相应的后缀表达式当然也有前缀表达式,后缀表达式是一种不需要括号的表达法。符合计算机的逻辑(例:2 3 +) 。

  关于中缀和后缀表达式,我愿意再给大家详细说明一下,各位官爷请看下图:

数学表达式

  如果我们用中序遍历,那么可以非常迅速的得到4 * 7 - 2 + 5这么一个式子。但是,每个运算符的优先级,很难写程序去判定。比如,我们想表示4 * (7 - 2) + 5的式子,即让减号的优先级最高,该如何计算呢?这时,就需要后缀表达式出场了。我们可以得到4 7 2 - * 5 +这么一串结果。屏幕前的你们可能已经开始认真思考,内心也产生了宝贵的想法:zhe ta ma shen me ji ba wan yi er... 但是计算机可是如获至宝,开心的像个两百斤的孩子一样。因为它可以很轻易的算出结果:建立一个栈(stack,这玩意遵循LIFO,即 last in,first out 原则),不停的将节点值压进栈里,当节点值为运算符时,它便弹出最新压入的值做运算,并将结果再压入栈中。so easy!哪里不会点哪里,妈妈再也不用担心我的学习啦...

  洋洋洒洒上千字,没点代码怎么行。


问题1:二叉树前序遍历(Binary Tree Preorder Traversal)
输入:二叉树根节点
输出:[1, 2, 4, 3, 5]

    1
   / \
  2   3
  \   /
  4   5

  前序遍历比较简单,一边遍历,一边装节点值。以下代码用了非递归方式,大伙可以试试如何用递归写~(递归写起来方便些,但是执行效率会偏低)

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

def preorderTraversal(root):
    cur_node = root
    stack = []
    res = []

    while stack or cur_node:
        if cur_node:
            res.append(cur_node.val)
            stack.append(cur_node)
            cur_node = cur_node.left
        else:
            cur_node = stack.pop()
            cur_node = cur_node.right
    return res

if __name__ == '__main__':
    node = head = TreeNode(1)
    node.left =  TreeNode(2)
    node.right = TreeNode(3)
    node.left.right = TreeNode(4)
    node.right.left = TreeNode(5)

    ans = preorderTraversal(head)
    print(ans)

问题2:二叉树中序遍历(Binary Tree Inorder Traversal)
输入:同上
输出:[2, 4, 1, 5, 3]

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

def inorderTraversal(root: TreeNode) -> list:
    cur_node = root
    stack = []
    res = []

    while stack or cur_node:
        if cur_node:
            stack.append(cur_node)
            cur_node = cur_node.left
        else:
            cur_node = stack.pop()
            res.append(cur_node.val)
            cur_node = cur_node.right
    return res

if __name__ == '__main__':
    node = head = TreeNode(1)
    node.left =  TreeNode(2)
    node.right = TreeNode(3)
    node.left.right = TreeNode(4)
    node.right.left = TreeNode(5)

    ans = inorderTraversal(head)
    print(ans)

问题3:二叉树后序遍历(Binary Tree Postorder Traversal)
输入:同上
输出:[4, 2, 5, 3, 1]
  后序遍历的话运用了倒装方式,先装节点值,再装右节点,最后装左节点。返回结果时将列表翻转即为答案。

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

def postorderTraversal(root: TreeNode) ->list:
    cur_node = root
    stack = []
    res = []

    while stack or cur_node:
        if cur_node:
            stack.append(cur_node)
            res.append(cur_node.val)
            cur_node = cur_node.right
        else:
            cur_node = stack.pop()
            cur_node = cur_node.left
    return res[::-1]

if __name__ == '__main__':
    node = head = TreeNode(1)
    node.left =  TreeNode(2)
    node.right = TreeNode(3)
    node.left.right = TreeNode(4)
    node.right.left = TreeNode(5)

    ans = postorderTraversal(head)
    print(ans)

问题4:二叉树逐层遍历(Binary Tree Level Order Traversal)。这里是将二叉树一层一层,从左往右遍历,用到了广度优先搜索(Breadth-First Search)的思想。
输入:同上
输出:[[1], [2, 3], [4, 5]]

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None


def levelOrder(root: TreeNode) -> list:
    if root == None: return []
    queue = [[root]]
    res = []
    while queue:
        curlevel = queue.pop()
        newlevel = []
        val = []
        for node in curlevel:
            if node:
                val.append(node.val)
                newlevel.append(node.left)
                newlevel.append(node.right)
        if newlevel != []:
            queue.append(newlevel)
        if val != []:
            res.append(val)
    return res

if __name__ == '__main__':
    node = head = TreeNode(1)
    node.left =  TreeNode(2)
    node.right = TreeNode(3)
    node.left.right = TreeNode(4)
    node.right.left = TreeNode(5)

    ans = levelOrder(head)
    print(ans)

问题5:判断一个二叉树是否为对称二叉树。
输入:二叉树,如下所示:
输出:True

    1
   / \
  2   2
  \   /
  3   3

代码如下(就我个人理解,应该是属于自顶向下的递归法,如果不满足先决条件的话,将不再继续递归,直接返回False结果):

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

def isSymmetric(root: TreeNode) -> bool:
    def helper(left, right):
        if not left and not right: return True
        if left and right and left.val == right.val:
            return helper(left.right, right.left) and helper(left.left, right.right)
        return False

    if not root: return True
    return helper(root.left, root.right)

if __name__ == '__main__':
    node = head = TreeNode(1)
    node.left =  TreeNode(2)
    node.right = TreeNode(2)
    node.left.right = TreeNode(3)
    node.right.left = TreeNode(3)

    ans = isSymmetric(head)
    print(ans)

自顶向下(top-down)和自底向上(bottom-up)的递归方法

  • 自顶向下:在每次递归调用时,我们利用该节点的信息计算出某些值,然后通过递归调用将这些值(这些传递的值一般是全局变量)传递给它的子节点,一直到叶子节点。
  • 自底向上:在使用递归法时,我们先对子节点使用递归函数,然后让子节点返回一些值(这时一般就不传递全局变量),最后我们利用子节点返回的值进行计算。

举个小小例子:计算某个二叉树的深度。(如果是屏幕面前的你,你会如何计算呢?感觉自己讲话方式好 zhi zhang,,,

  • 如果是自顶向下(此时从上往下树的深度执行加一操作):
1. return if root is null
2. if root is a leaf node:
3.      answer = max(answer, depth)         // update the answer if needed
4. maximum_depth(root.left, depth + 1)      // call the function recursively for left child
5. maximum_depth(root.right, depth + 1)     // call the function recursively for right child
  • 这个时候你又想自底向上了(这时是从下往上深度不停加一):
1. return 0 if root is null                 // return 0 for null node
2. left_depth = maximum_depth(root.left)
3. right_depth = maximum_depth(root.right)
4. return max(left_depth, right_depth) + 1  // return depth of the subtree rooted at root

  大家可以看出,如果我们可以得到该节点的信息(如节点深度为前面总共深度再加一),并且这些信息可以帮助到子节点的计算,那么就可以考虑自顶向下法;如果我们知道子节点的结果,并通过它来计算该节点的结果,那么便可以使用自底向上法。总而言之一句话,这玩意不简单呐。


例题6:欢迎大家收看例题没完没了系列之路径求和(Path Sum)。给定一颗二叉树,如果从根节点到某个叶子节点这条路径上的值之和等于目标值’target‘,则返回True,否则返回False。
输入:见例题1
输出:True(1+2+4=7),False,True(1+3+5=9)
这个代码属于自顶向下方法:

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

def hasPathSum(root: TreeNode, target: int) -> bool:
    def helper(node, ans):
        if not node: return False
        if not node.left and not node.right: return ans + node.val == target
        return helper(node.left, ans + node.val) or helper(node.right, ans + node.val)

    return helper(root, 0)

if __name__ == '__main__':
    node = head = TreeNode(1)
    node.left =  TreeNode(2)
    node.right = TreeNode(3)
    node.left.right = TreeNode(4)
    node.right.left = TreeNode(5)

    for i in range(7,10):
        print(hasPathSum(head,i))

例题7:根据中序遍历和后序遍历的列表,构建该二叉树。
输入:inorder = [9,3,15,20,7],postorder = [9,15,7,20,3]
输出:二叉树,如下所示。

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

  对于一棵树的中序遍历,根节点肯定处于遍历结果的中间(假设这棵树有左子树),后序遍历的时候根节点肯定是最后一个遍历的元素。所以我们在后序遍历列表当中,依次从最后位置取出根节点,并且找到该根节点在中序遍历列表当中的位置。此时,该位置左边就是这棵树的左子树元素,右边元素就是这棵树的右子树元素。如此递归下去,便可得到想要结果~
  大家可以思考一个问题,那就是根据中序遍历和前序遍历是否也可以构建出唯一的二叉树?(答案是可以,做法也是几乎一样,在前序遍历列表当中从前往后取根节点就可以~)那么前序和后序遍历能构建唯一的一棵二叉树吗?(答案是不行,因为你无法判断节点属于左子树还是右子树)

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

def buildTree( inorder: list, postorder: list) ->TreeNode:
    if not inorder or not postorder: return
    val = postorder.pop()
    node = TreeNode(val)
    idx = inorder.index(val)

    node.right = buildTree(inorder[idx + 1:], postorder)
    node.left = buildTree(inorder[:idx], postorder)

    return node

def preorder(head):
    def helper(node,ans):
        if not node:return
        ans.append(node.val)
        helper(node.left,ans)
        helper(node.right,ans)

    ans =[]
    helper(head,ans)
    return ans

if __name__ == '__main__':
    inorder = [9, 3, 15, 20, 7]
    postorder = [9, 15, 7, 20, 3]
    head = buildTree(inorder,postorder)

    ans = preorder(head)
    print(ans)

例题8:输入两棵二叉树A,B,判断B是不是A的子结构。(ps:我们约定空树不是任意一个树的子结构)
输入:A

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
       /  \
      4    9

输入:B

    20
   /  \
  15   7

输出:True

class Solution:
    def HasSubtree(self, pRoot1, pRoot2):
        # write code here
        if not pRoot1 or not pRoot2:
            return False
        return self.is_subtree(pRoot1, pRoot2) or self.HasSubtree(pRoot1.left, pRoot2) or self.HasSubtree(pRoot1.right, pRoot2)
      
    def is_subtree(self, A, B):
        if not B:
            return True
        if not A or A.val != B.val:
            return False
        return self.is_subtree(A.left,B.left) and self.is_subtree(A.right, B.right)

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