最好、最坏时间复杂度

我们先看一个例子：

/*
 例1：查找x在数组中出现的位置，如果没有找到，返回-1。n表示数组array的长度
*/
int findIndex(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int index = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       index = i;
       //break; //暂时注释掉此行
    }
  }
  return index;
}

当把break语句注释掉的时候，总是需要遍历整个数组，所以时间复杂度就是数组的长度，为O(n)。
当有break语句的时候，如果找到x，则会提前退出（显然这种写法更高效）。
我们知道x可能出现在数组的任何位置，可能是第一个（时间复杂度为O(1)），可能是最后一个（时间复杂度为O(n)），也可能不存在数组中（时间复杂度为O(n)）。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：
最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。

最好情况时间复杂度 就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。
最坏情况时间复杂度 就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度
最好、最坏都是在对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。

平均情况时间复杂度

平均时间复杂是为了更好地表示平均情况下的复杂度。
还是上面例1，结合概率知识，我们知道，要查找的变量x在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的0～n-1位置中和不在数组中。
我们暂且认为每种情况发生的概率都一样为：1/(n+1)。
每种情况的时间复杂度为:1/(n+1)1、1/(n+1)2、1/(n+1)3...1/(n+1)n、1/(n+1)*n
所以平均时间复杂度为:(所有情况下的时间复杂度的总和)/(总情况数)，即：

平均时间复杂度.png

其实上面的概率并不都是：1/(n+1)。
要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。
我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。
查找的数据出现在 0～n-1，这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n，则每种情况出现的概率为1/(2n)。
每种情况的时间复杂度为：1/(2n)1、1/(2n)2、1/(2n)3...1/(2n)n
查找的数据不再数组里，则概率为1/2。时间复杂度为：1/2*n。
所以平均时间复杂度为:(所有情况下的时间复杂度的总和)/(总情况数)，即：

平均时间复杂度.png

均摊时间复杂度

均摊时间复杂度，听起来跟平均时间复杂度有点儿像。
对于初学者来说，这两个概念确实非常容易弄混。

/*
 例2:n表示数组长度，count表示数组存储数据的个数
 往数组中添加数据，如果数组满了，则依次打印出来，然后清空数组
*/
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
        if (count == array.length) {
            for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
                System.out.println(array[i]);
            }
            System.out.println(val);
            array = new int[n];
            count = 0;
        } else {
            array[count] = val;
            count++;
        }
}

分析下前面说的三种时间复杂度。
最好：最理想的情况下数组空闲，时间复杂度为O(1)
最差：数组恰好不空闲，时间复杂度是 O(n)
平均：假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，
每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

平均时间复杂度.png

那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢？
每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n次 O(1) 的插入操作，
所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n 次耗时少的操作上，均摊下来，
这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，
而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，
看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。
而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

小结

• 同一段代码，在不同输入的情况下，复杂度量级有可能是不一样的。所以有了最好、最坏、平均、均摊时间复杂度。
• 其中最好、最坏情况下的时间复杂度分析起来比较简单。平均、均摊两个复杂度分析相对比较复杂。
• 在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。
• 平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。