第32课基变换和图像压缩

关于基变换：从一组基变换到另一组基

主题：线性变换与矩阵的关联，线性变换不一定是在坐标系内，而矩阵用坐标来表示线性变换

例： $512\times512$ 的图，每像素 $8bits$ ，值为 $0\le x_i<255$ ，实际上是对 $R^n$ 中的向量 $x$ 做操作， $x\in R^n;n=512^2(彩色图为3\times512^2)$ 。

JPEG的全称联合图像专家组，对图像数据做基变换。

值相近的相互关联（即颜色相近）

标准基为 $\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\vdots\end{bmatrix},\dots,\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}$ ， $R$ 中的其他基是这个高维数的空间

更好的基：元素都为1的向量，这个向量就能完整地给出所有像素一致图像的信息，当然我们的图像像素不是一致的，混合着一些其他信号。在基中有这样一个向量，也能解决很大问题，基中其它向量是多少，基的选择问题很关键

JPEG用到的基为傅里叶基 $8\times8$ ，取 $8\times8$ 的小块，有64个像素，从这一小块上做基变换。

步骤：
$信号x\to \underbrace{基变换}_{无损压缩}\to 得到系数c \to 压缩 \to \underbrace{压缩系数}_{得到很多0} \to 重构信号x$

视频压缩是连续的（间隔很短时间取的是同一幅图像，然后慢速播放，激烈中的动作就采用这种拍法），序列中每幅图和前一幅图非常接近，得用预估和修正一张当前瞬间的图像，然后是后一时间步的，假设图像是同一幅，然后加一个小的修正，只需要对修正进行编码和数字化，然后对修正量进行压缩，所以一系列连续高度相关的图像压缩中的问题总是用到这个相关性，实际上是在时间上和空间上事物不会瞬间变化，通常是很平滑的变化，可以根据前一个值预测一个值出来，这些应用是纯线性代数问题。

另一组基叫做小波，以 $8\times8$ 的情况描述如下
$\underbrace{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&0&1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&-1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&0&1&0&0\\ 1&1&-1&0&0&-1&0&0\\ 1&-1&0&1&0&0&1&0\\ 1&-1&0&1&0&0&-1&0\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&1\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&-1 \end{bmatrix} }_{小波基} \in R^8$
关于线性代数的问题，就是找出系数。 $p_1,\dots,p_8$ 是标准基的系数， $W$ 为小波基
$\underbrace{p=p_1w_1+\dots+p_8w_8}_{向量形式的方程}\\ p= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&0&1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&-1&0&0&0\\ 1&1&-1&0&0&1&0&0\\ 1&1&-1&0&0&-1&0&0\\ 1&-1&0&1&0&0&1&0\\ 1&-1&0&1&0&0&-1&0\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&1\\ 1&-1&0&-1&0&0&0&-1 \end{bmatrix} }_{小波基W} \begin{bmatrix}c_1\\c_1\\c_3\\c_4\\c_5\\c_6\\c_7\\c_8\end{bmatrix} \to p=Wc \to c=W^{-1}p$
很好的基能快速求逆，性质好指的是

计算速度快
少量基向量就能接近输入信号（即输入向量），因此足够重现图像

$Wc$ 与 $W^{-1}p$ 计算速度快

$W$ 由 $1,-1,0$ 组成，用二进制计算相当快

$W$ 基向量正交，但不标准，需要标准处理，向量标准正交的逆等于其转置

基变换

基变换：已知一个基上的向量，变换到不同的基中

令：

矩阵为 $W$ , $W$ 的列向量是新基的向量，然后牵扯到基变换 $W^{-1}$
$\underbrace{x}_{老基下的向量}\to \underbrace{c}_{新基下和向量}\\ x=Wc$
考虑矩阵变换，假设已知线性变换 $T$

第一组基 $v_1,\dots,v_8$ ， $A$

第二组基 $w_1,\dots,w_8$ ， $B$

$A$ 与 $B$ 的关系如何？

首先如何得到矩阵 $A和B$ ，

来自同一变换 $T$ 在同一组基上计算得到一个矩阵，然后在另一组基上计算得到的那两个矩阵是相似的，相似阵得到 $B=M^{-1}AM$ ， $M$ 就是基变换矩阵
$A由v_1,v_2,\dots,v_8基向量组成\\ T(v_1),\dots,T(v_8)\\ 知道T作用在每个基向量的结果就知道一切了\\ x=c_1v_1+\dots+c_8v_8\\ T(x)=c_1T(v_1)+\dots+c_8T(8)\\ T(v_1)=a_{11}v_1+\dots+a_{81}v_8\\ T(v_1)=a_{12}v_1+\dots+a_{82}v_8\\ \vdots\\ T(v_1)=a_{18}v_1+\dots+a_{88}v_8\\ A表示T在这组基上的这些数 A=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{81}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{18}&\dots&a_{88}\end{bmatrix}$
假设一组特征向量基
$T(v_i)=\lambda v_i$
$A$ 将是多少？
$A=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\ddots&&\\&&\lambda_8\end{bmatrix}$
在特征向量基下，矩阵是对角阵，所以它是完美基，在图像处理中我们最想要的。但是找出像素矩阵的特征向量代价太大，所以选择代价小且接近的接好的基，比如小波基

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