短暂的休息有时可以帮助一个人克服这样的困难。庞加莱想出去走一走。他走到哪里是无关重要的，重要的是通过散步可以松弛大脑并使得他注意到周围的世界。
对于优秀的艺术、建筑和文学作品，判断的原则是主观的、不受控制的，公众的意见完全可以毁灭一个人的前途。成功常常只是机遇的问题。有时候甚至是能否抓住机会、历史的某个重大的转折时刻。
数学家与其他领域的科学家一样，被限制在很狭窄的领域中，大多数人对于外界的信息与成就一无所知。
像所有的理论与模型一样，它只是一种理想化与简化的实在观。物理学的成功从很大程度上讲是因为科学家们懂得如何忽略无关的信息而抓住问题的本质。上面的模型如果需要也可以加入其他因素的影响。
模型在科学中起着核心作用。
数学家和物理学家关于存在性和唯一性存在着争论。后者一般并不过多地考虑存在性问题。对他们来讲微分方程主要是一种手段，目的是利用方程解的性质去理解和预测物理现象。这是完全合理而自然的。但是数学家首先关注的是存在性唯一性，在解决了这些问题以后才去研究解的性质。他们的理由9也是很明显的，他们主要感兴趣的是数学对象，从而理所当然地对不存在的对象格外小心。（从数学的逻辑来讲，关于不存在的对象所下的任何结论都是正确的，这是因为我们所要预测的事物根本就不存在。）忽视了这些基本的问题，人们就会得出许多错误的物理结论。然而对于像纳维—斯托克斯方程这样公认的模型来说，专家中几乎没有人怀疑解的存在性，大多数人都相信总有一天人们会解决存在性问题。于是，解的精密性质和尚不了解的物理意义在研究中出现了。只有这种情形，假定解是存在的并且花时间研究与应用有关的解的性质看起来才是合理的。
应用数学主要关心数学模型的建立和分析。应用数学领域最出色的工作是能够轻而易举地将实际应用转化为纯粹数学中的问题，并且再回到应用中：在实在世界与它的二级世界之间进行真正的“技术转移”。
