原作者　：张江
作者简介：北京师范大学系统科学学院副教授张江
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简　　介：一门新兴学科，正悄悄重塑我们对世界的理解。经济，政治，物理，心理，看似不相关，却被一个叫复杂科学的学科深层相连。我们将带你从它的视角，看世界的全景。
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本文作者 北京师范大学系统科学学院副教授张江，授权转载。

三、通向理论

（注：打有*号内容为作者适当的扩展和想象）

1、最大流原理

在上一章我们已经看到，对3/4律的解释需要用到一种分形结构的输运网络；进一步，之所以自然选择会创造这样的分形网络，很有可能是因为系统正在试图优化某种目标函数，从而创造了这样的结构。那么，这个目标函数究竟是什么呢？它又有什么具体的物理意义呢？

从West到Banavar，再到Bejan，它们都提到了类似的优化目标，即使得系统中的资源流动更加顺畅，更加有效率。进一步，我们可以把这个原理抽出来，即系统优化的目标是使得流动能够达到最大，我们况且称之为最大流原理吧。

让我们放眼大千世界，最大流原理似乎很有根据。我们中国存在着一句古话，就叫做“人尽其才，物尽其流”，也就是说社会发展的总目标就是要让物品的流动能够尽量顺畅。的确，我们看到经济的发展往往伴随着物品流动速度的加快。火车在提速、GDP（经济系统货币的总流量）在增长、物流行业在腾飞等等。

在生态学领域中，著名生态学家Lotka早在1922年的时候就提出来了生态系统中的能量流动加快的原理。之后，该原理又被著名生态学家Odum命名为最大功率原理（Maximum power principle），这里的功率就是能量除以时间，即能量流动。我们都知道，生态系统是由特定区域的多个物种由于相互作用而形成的整体系统。物种之间的相互作用可以抽象看作是一种能量的交换或称之为流动。那么，最大功率原理是说，生态系统作为一个整体的开放系统会由于进化的作用而逐渐趋向于系统内部的能量流动加快。（参考Odum有关最大功率原理的文献）

在Odum提出了最大功率原理之后，还有一批生态学家提出了许多类似的生态系统进化的目标函数。其中，最大化熵产生原理则与众不同，因为它深深植根于非平衡态热物理。著名的物理学家、化学家，复杂系统理论研究的先行者普利高津很早的时候就提出了一个类似的最小熵产生原理，只不过它仅限于平衡态附近的系统。进一步，很多人从不同的问题分别提出了处于非平衡态的系统朝向最大化熵产生的方向发展的理论，并在大气系统、流体、电路等领域进行了成功的应用。（请参考有关最大熵产生定律的综述）

实际上，任何一种可用的能量在系统内部得到转化和使用的时候都会产生大量的废热。这些废热是和熵的产生成比例的（见有关熵的历史的讨论）。所以熵产生越大，就说明能量在系统内部的转化得越快。而能量在系统内部的转换又是靠能量流本身所驱动的，因此熵产生越大能量流动得越快。因此可以说最大功率原理和最大熵产生原理是一枚硬币的两面，它们同是更广义的最大流原理的一种具体体现。

2、流动与时空

为了进一步理解最大流动原理，我们可以考虑这样一个形象的比喻：有很多水流源源不断地从山顶流到山底，那么水流会沿着什么路径流呢？如图：

有两种可能的情况发生。

第一种，地形不会因为水流的流动而改变。开始的时候，如果有多条路径可供水流选择，并且总流量是有限制的话，那么会发现，越来越多的水流会集中在流动最快的那条路径上。这不是因为水流具有多少聪明的智慧，而是因为快速疏导水流的路径会导致水流在更短的时间里产生出“虚空”，而这种“虚空”会引导更多的水流过来，这样二者相互作用的结果就导致了我们仅能看到被水流选择出来的快速的流动路径。
　　出人意料的是，这种水流与路径的关系与蚂蚁觅食的原理是如此之像。如下图，假如蚂蚁从巢穴出发，外出去觅食，当找到食物之后就会再次返回巢穴。如果有两条路径可以通向食物，一条较长，一条较短。开始的时候蚂蚁们盲目的寻找路径，但是随着时间的推移，众多蚂蚁会越来越集中在那条从巢穴到食物的最短路径上。

第二种情况，是路径可以被水流冲击而改变。这样如果路径阻挡了水流的流动，那么水流就会不断冲击它而改变路径的形状。这样反复冲刷的结果就会使得流动更加顺畅。因此最后大自然构造出来的水流路径一定是使得水流流速最快的一条。这样，如果水的流入是一点，流出也是一点，类似河流中的一小段，那么水流会造就一条最快的联通两点的路径。但是如果水的流入是一点，而流出可能是非常多的点，那么会怎样呢？例如，从山顶的水流往往是从一点流下，但是山底却有很多点可以让水流流出。有趣的是，在这种情况下，水流就可以通过冲刷而构造出分形的树状结构，实际中的河流就是这样的情况。

由真实水流冲刷而形成的分叉河流网络

对于水流的这一描述完全可以搬到现实中的能量流。水流在真实的地形空间流过，能量可能在各种更加抽象的空间中流动。水之所以会流动是因为存在着高、低两种地势差，能量流动的原因也是因为存在着某种抽象空间中的势差。例如，热力学告诉我们，热流总是流向温度较低的物体，这里面，不同温度的物体就构成了一种势差，温度T就相当于是高度。高温流向低温，就相当于水从高处流向低处。

太阳辐射大地不断的注入一种能量流给地球，地球最终需要把这些能量变成一种废热而耗散到宇宙空间中去。这样，太阳能量就构成了高势，而辐射热就构成了一种低势。有了这两种势差，流动就一定会发生，这样源源不断地能量流就构造了我们看到的美丽地球。从阳光到植物的光合作用产生有机物和二氧化碳，这些有机物进一步被生物、人类使用，从而再把能量转化为废热释放到宇宙空间中，这一切都是能量流构造的，如图：

地球上的能量流不仅仅被路径选择，而且通过不断的“冲刷”而创造了各种释放能量的路径，这就是能量流造物的奥秘。生态圈中的各种生物因为都要新陈代谢，所以，它们就构成了各种各样的释放能量的通道。然而真实的水流流动在真实空间中，能量流动在什么空间呢？作者猜想，能量流动的空间可能是频谱空间。详细请看这里。
　　能量不仅可以沿着路径流动，同时路径反过来又可以被能量流动所改变。当能量可以从一点注入，而可以从多点流出的时候，流动就会构造出分形的河流疏运网络结构。我们可以把这个过程抽象成下面的图：

　　在这张图中，能量不断从一个单点流入，而分叉成越来越多的细流。造成流动的原因是因为广义的高度：势的存在。它是一种不同节点之间的差异性。按照我们的猜想，也就是不同能量形式所存在的频谱，它形成了空间中的一个重要维度。另外一个重要的空间维度就是横坐标轴，能量流会在这个轴上分叉。如果我们仅仅画出这个空间维度，那么，不难看出，整个过程就好像是一个发生在该空间上的扩散过程。而且随着时间的推移，能量流创造了越来越多的结点，那么这些节点就会渐渐占领更大的空间。

3、新的热力学定律？*

这种逐渐充斥整个空间、逐渐扩散的过程让我们想起了一个有趣的定律：热力学第二定律。想想，一瓶香水如果打开了瓶口，那么香水就会扩散到整个空间。房间不打扫就会变得越来越脏，热量不能自发地从低温物体流向高温物体，任何能量转化的过程都伴随着一定的废热产生，所有这些现象都与热力学第二定律有关。

历史上，人们对热力学第二定律的发现经历了一段漫长而艰难的过程。开始的时候，人们先是从一些物理现象出发：如热不能从高温物体自动流向低温物体、任何机器在工作的时候都会伴随着大量的废热产生……。然而，将热力学第二定律变成一种科学定律还要归功于熵这个概念的提出。人们发现，热力学第二定律所描述的那些过程实际上都伴随着熵这个物理量的增加。

有关熵概念的形成历史，请大家参看这里。正文部分不进行详细论述了。

然而，热力学第二定律、熵等概念仅仅是针对封闭的、处于近平衡态的系统讨论的。在这里我们更感兴趣的是流动，是开放的系统，第二定律、熵等概念还能适用吗？

首先，值得肯定的一点是，我们还可以运用前面提到的“熵产生”这个概念。根据Clausius对于热温熵的原始定义，我们知道，在一定的温度下，熵产生就等价于热量的产生。然而，除此之外，热力学似乎帮不上任何忙了，为什么熵产生、能量流动会达到最大？经典的热物理学不能回答。

让我们放眼现实世界，会发现一种特别有趣的现象：驻波。当一股溪水遇到了一块石头的时候，就会绕开它，并在石头的旁边形成有规则的驻波。仔细观察会发现，虽然每个水滴在流动中都在变化，但是只要水流总量不变，那么这股驻波就能稳定存在。其原因是驻波本身并不是一个物理实体，而是水滴相互作用在宏观形成的一种构型（Pattern）。

同样，对于一个非平衡物理系统来说，如果它处于稳衡态，那么也有可能某种宏观的统计性质就像驻波一样是稳定的，尽管它微观的水分子是在不停变化的。如果我们切换一种视角，不去盯住那些微观水分子本身，而是观察每个水分子的运动过程，那么我们会发现，由于系统处于了稳衡态，所以不停注入的流水是一个常量，也就相当于是一群固定的水分子运动的过程，同样整个系统内部也会形成各种各样较稳定的过程。我们不妨用箭头表示这些小的过程，那么水波就可以表示成：

首先，只要系统处于稳衡态，那么这些小的过程就是相对不变化的。而有趣的是，每个小过程本身并不是固定的水分子，而是不停地被新的水分子替换掉的流动过程本身。其次，一个开放的不停流入水分子的系统在这里就变成了一个固定的封闭的系统。一个非平衡的系统对于这群小过程来说就变成了平衡的系统。

如果我们把这些小的过程而不是真正的水分子比喻成气体中的分子小球，那么我们就会按照统计力学的推理原则构造出一套关于这些小过程的统计理论。那么这一套统计理论就很有可能是解释非平衡态物理系统的最终理论。

有趣的是，法国物理学家R.C. Dewar在2003年的时候在Physica A上发表了一篇论文Information theory explanation of the fluctuation theorem, maximum entropy production and self-organized criticality in non-equilibrium stationary states，用一套统一的框架自然导出了最大熵产生原理，以及另外两个著名的非平衡态系统中的重要现象：自组织临界性、涨落定理。他用到的一个重要的基本思想就是将系统的变化路径（水分子的运动过程）本身看作是微观的对象。

Dewar将前面介绍过的Jaynes的最大Shannon信息熵原理运用到非平衡系统中，只不过信息熵定义中的状态空间不是固定点构成的空间，而是系统演化的所有路径构成的空间。这样，信息熵值就是指一个过程在所有可能路径上取不同概率的熵值。按照这样的理解，我们可以得到最大热力学熵产生原理，即作为最大化路径的信息熵的一个推论。

注意这两个熵的不同之处。实际上，我们可以把这两种熵理解为两个层次的概念。在微观层次，系统不同的演化路径对应着不同的微观的热力学熵的产生。而在宏观层次，我们把若干路径看作为高一层次的基本粒子，这样对于这群基本粒子来说它们在高一层次就又可以定义一种熵，这就是在Dewar的工作中被最大化的信息熵。因而，我们可以说最大化高层次的信息熵可以自然导致低层次的熵产生达到最大。我们知道，热力学第二定律所说的最大化熵，就相当于最大化信息熵。所以，这里的结论又可以翻译为：最大熵产生原理是高一层次的热力学第二定律的一个推论。

要理解这个原理，我们不妨用经济系统或者生态系统作类比。我们知道经济系统中各个经济体之间的交换就构成了一种货币或者商品流。那么如果企业的种类繁多，生产的产品足够多样性，同时人们的消费也是多样性的话，这就会创造出更多的消费渠道，也就可以使得货币或者商品的流动增加。因此商品空间中的多样性造成了经济流动的加强。

在生态系统中，各个物种通过捕食与被捕食的关系构成了复杂的食物网络。在食物网中，每发生一次捕食与被捕食关系，就会有一股能量从网中的一个节点流向另一个节点。如果系统中的物种足够丰富，那么这里面的捕食与被捕食的关系也就足够多样，因而粗略说，物种的多样化就会导致系统中总体的能量流加强。物种的多样性可以理解为物种在表型空间中的一种扩散行为，于是这就解释了最大功率原理，即它是一种表型空间中热力学第二定律的体现。

如果这一原理是对的，那么它很有可能成为新的热力学定律：热力学第四定律的候选。

4、流动的新理论*

讲到这里，是时候回过头来总结一下我们走过的这些路了。首先，我们从新陈代谢和生物体尺寸之间的3/4幂律关系出发，揭示出普遍存在于复杂系统流动现象的幂律关系；其次，我们提到了各种解释这些幂律关系的模型，之所以会有这么多幂律关系是因为生物体内存在着分形的输运网络，并且这些网络作为长期进化的结果，它的结构会使得能量在生物体内的流动达到最快。进一步，我们提出了一个最大流原理，并给出了更深一层次的猜想：即流动的最大化可能是高层次空间上热力学第二定律的表现。

有趣的是，虽然这里的讨论往往集中在物理、生态、经济等领域，但是流动的研究没有理由仅仅局限于此。现实世界存在着更多的资源、流动、广义的生态系统。

更加抽象的资源流动还可能包括权利的流动。例如一家大型公司，大老板拥有丰富的权利资源，他会把他的权利下放到他的下属，这就是各个部门经理，部门经理又可以把权利资源下放到小组长，小组长下放到员工……。这样权利资源的流动串联起了整个系统，它们构成了一个层级的网络。

在科研领域也可以利用类似的类比。有人将科研人员比喻成疯狗，而新的思想或者新的学说比喻成肉。那么如果哪位能够抛出一块肥肉，就会引起大量的科研疯狗扑过来。于是这里面新的学说思想就构成了广义的资源流，扑过来的科研疯狗就好比是不同的物种，他们相互传播这股资源流形成了复杂的网络……。

一个计算机软件系统也可以看作是这样一种广义的生态系统。什么是这个生态系统中的能量流呢？我们不妨假设CPU的执行相当于一种能量流。一个软件不同程序部分的执行权利是由用户决定的，这样用户就构成了整个软件生态系统的太阳，他不断地给系统输入能量资源进来。被首先执行的软件模块相当于植物，被这些模块调用而执行的模块相当于吃草类动物，次级被调用的相当于食肉类动物。被执行次数越多的软件模块就相当于拥有越多能量的物种。这样，整个软件就由各个模块以及相互之间的调用关系构造成一个复杂的食物网。好的软件系统可以便利地被人们使用，因而就相当于能量流被最大化。我们甚至可以开发出一整套方法来研究如何优化软件系统。（著名的人工生命系统：Tierra就是将程序比喻成物种，CPU执行时间比喻成能量而设计的）
【本人按：这方面还有蔡汀基于算法信息论的人工生命理论，其中图灵机等价于生物DNA，图灵机从开始运算到停机的运算时间等价于环境压力。具体可以看本人的这篇文章】

长久以来，人工智能的研究始终没有突破，这是因为人们忽视了机器学习的问题。然而，传统机器学习理论往往都是从各种算法的修修补补进行改进，没有人从开放的流系统这个角度来思考人工智能中的学习。如果把新的知识作为一种能量的来源，而把整个学习形成的各种知识积累作为一种促使能量流动的网络，那么我们完全可以把机器学习系统看作是一个广义的生态系统。于是，机器学习的目的也是为了能够最大化这种广义的能量流。也许，这种全新的视角可以给我们带来新的认识。例如，机器学习系统中是否存在新知识与已有知识的幂律分布关系？如果我们把遗传算法中的变异和交叉操作看作是一种注入的能量流，而把整个系统存在的规则、程序看作是一种存量的话，那么是否流量和存量依然存在着幂律关系？或者说也许最优的设计就来源于这种幂律分布关系？

总之，这个主题才刚刚开始。有太多激动人心的发现等待着我们去发掘。

“流”的探索（一）——流动与幂律
“流”的探索（二）——分形输运网络

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